2015-04-08
485
1. Фаза сигнала φ распределена на интервале [-π, π ] равномерно:  . Найти f(x, y) – совместную плотность вероятности случайных величин x=sin φ, y=cos φ.
| |
Дано:
| 
|
|
2. На вход линейного четырехполюсника, у которого выходное напряжение  связано с входным напряжением  равенством:  , где a,b=const подается последовательность импульсов, амплитуды которых распределены но нормальному (гауссовому) закону со средней амплитудой  и дисперсией  . Найти среднее значение  и дисперсию  выходного напряжения.
| |
Дано:
| 
|
Найти:
|
3. Случайный процесс u (t) имеет вид  , где U 0,ω0 – фиксированные величины, фаза φ – случайная величина, равномерно распределенная в интервале [-π, π ]. Определить среднее значение  , дисперсию  случайного процесса. Доказать, что случайный процесс u (t) стационарен.
| |
Дано:
Случайный процесс:
| 
|
Найти:
Доказать:
|
| 4. Сигнал представляет собой сумму гармонических колебаний одной и той же частоты. Амплитуды слагаемых величин одинаковы и равны 5В, начальные фазы могут независимо принимать лишь два значения: 0 и π. Число слагаемых равно 30. Вычислить вероятность того, что результирующая амплитуда сигнала окажется больше 40В. | |
Дано:
| 
|
|
5. Использую теорему Винера-Хинчина, найти энергетический спектр стационарного случайного процесса с корреляционной функцией  .
| |
Дано:
| 
|
|
6. Пусть стационарный случайный процесс X (t) характеризуется следующим энергетическим спектром: 
Найти корреляционную функцию процесса X (t)
| |
Дано:
| 
|
|
7. Пусть узкополосный нормальный (гауссов) процесс имеет постоянное значение одностороннего энергетического спектра  в пределах полосы частот от  до  . Найти вероятность того, что огибающая этого процесса будет превосходить уровень 
| |
Дано:
Узкополосный Гауссов процесс с односторонним энергетическим спектром -
Диапазон частот:
| 
|
|
8. Найти корреляционную функцию процесса вида «случайного телеграфного сигнала» - случайного процесса  , представляющего собой последовательность скачков между значения + а и – а, причем моменты скачков распределены по закону Пуассона  , где λ – среднее число скачков в единицу времени (см. рисунок).
| ||
Дано:
Моменты скачков распределены по:
 - среднее число скачков в ед. времени
| 
| |
| ||
| 9. Устройство, имеющее два устойчивых состояния (триггер), находится пол воздействием случайной последовательности управляющих импульсов, с одинаковой вероятностью имеющих знаки плюс и минус. Пусть положительный импульс создает или сохраняет состояние 1 триггера, отрицательные – создает или сохраняет состояние 2. Число импульсов, поступающих на триггер в единицу времени, равно а. Считая, что в начальный момент времени триггер находился в состоянии 1, найти вероятность обнаружить триггер в состояниях 1 и 2 в момент времени t. | ||
| Дано: Чья-то отсканеная рукопись | ||
|
|
|
|
|
|
10. Случайная величина ξ имеет нормальное (гауссовое) распределение с математическим ожиданием  и дисперсией  . Доказать, что все моменты  случайной величины ξ выражаются через момент второго порядка  , найти явный вид этих моментов.
| |
Дано:
| 
|
Доказать:
|
Задачи к государственному экзамену по курсу «Электродинамика»
1. Вычислить напряженности электрического и магнитного полей, создаваемых зарядом q, движущимся в постоянной скоростью v.
Преобразования Лоренца:
2. В лабораторной системе отсчета наблюдаются два однородных взаимно перпендикулярных векторных поля – электрическое с напряженностью Е и магнитное напряженностью Н, причем ׀ Н׀>׀ Е ׀ (в абсолютной системе единиц). Найти скорость v такой инерциальной системы отсчета, с точки зрения которой в этой лаборатории присутствует только магнитное поле (т.е. Е'= 0) и вычислить напряженность этого поля Н'.
Решение:
Выбираем направление скорости следующим образом 
и 
Из рисунка видно, что 
Используя преобразования Лоренца для электромагнитного поля, получаем
Ответ: 
3. По шару радиуса а с одинаковой объемной плотностью распределен заряд q. Пользуясь уравнениями Пуассона и Лапласа, найти потенциал φ вне и внутри шара и по найденному потенциалу определить напряженность поля Е вне и внутри шара. Построить графики зависимости φ и Е от расстояния до центра шара.
Уравнение Пуассона:
Сферически-симметричное решение:
;
Для сферических координат, учитывая что 
зависит только от радиус вектора 
:
Внутри шара:
; 
; 
; 
т. к. 
;
Итого: 
; 
Снаружи шара:
; 
;
; 
т. к. 
;
Итого: 
; 
На поверхности шара:
; 
; 
; 
Ответ:
; 
; 
График:
4. По сфере радиуса а с одинаковой поверхностной плотностью распределен заряд q. Пользуясь уравнением Лапласа, найти потенциал φ вне и внутри сферы и по найденному потенциалу определить напряженность поля Е вне и внутри сферы. Построить графики зависимости φ и Е от расстояния до центра сферы.
Сферически-симметричное решение:
;
Для сферических координат, учитывая что зависит только от радиус вектора :
Внутри сферы:
; 
;
; т. к. ;
Итого: 
; 
В близи границы сферы применим теорему Гаусса - Остроградского по внешней поверхности сферы:
, => 
Итого: 
Снаружи сферы:
; 
;
; 
т. к. ;
Итого: 
; 
Связываем:
E0 = E2(a) => 
=> 
Ответ:
; 
; 
График:
5. Шар радиуса а равномерно заполнен статическим электрическим зарядом с постоянной плотностью ρ – за исключением находящейся внутри шара пустой сферической полости радиуса b. Расстояние между центрами шара и полости d. Найти напряженность поля Е внутри полости.
Для равномерно заряженного шара напряженность внутри него определяется формулой:
Возьмем точку P внутри полости. Расстояние от центра сферы до точки P:
;
Напряженность в этой точке при условии, что полость тоже заполнена объемным зарядом – векторная сумма напряженности искомой (с пустой полостью) и напряженности, создаваемой только одной заполненной полостью:
;
Ответ: 
