Автоколебательные системы с n-степенями свободы. RC-генератор

Примеры таких систем показаны на рис. 12.1.

а) б)

Рис.12.1

Данные колебательные системы имеют две степени свободы. При заданных значениях в качестве обобщенных координат можно взять углы отклонения .

Многоатомные нелинейные молекулы имеют колебательных степеней свободы, линейные многоатомные молекулы имеют колебательных степеней свободы. Здесь - число атомов в молекуле.

кинетическая энергия системы со многими степенями свободы может быть представлена в виде:

(9.16)

где

, (9.17)

, (9.18)

.

В том случае, когда на систему накладываются стационарные связи, для кинетической энергии можно записать:

, (9.20)

и функция Лагранжа, в случае активных потенциальных сил имеет вид:

. (9.21)

Коэффициенты носят название коэффициентов инерции

Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням вблизи устойчивого положения равновесия системы:

Введем обозначения:

. (12.2)

Эти коэффициенты называются обобщенными коэффициентами жесткости. Они симметричны, т.е.

. (12.3)

В результате для потенциальной энергии получаем:

, (12.4)

где точками обозначены члены высших порядков. Для случая малых колебаний используется гармоническое приближение, в котором всеми, не выписанными членами старших порядков, пренебрегают. В результате функция Лагранжа колебательной системы в гармоническом приближении имеет вид:

.

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, которая совершает малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия.

, (12.6)

, (12.7)

.

Дифференциальные уравнения колебаний получаются из уравнений Лагранжа

(12.11)

и выражений (12.6), (12.8) и (12.9):

, (12.12)

где использованы равенства .

Следовательно, малые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение уравнений (12.2) ищем в виде:

, (12.13)

где - неизвестные постоянные.

Дифференцируя дважды по времени уравнения (12.13), подставляя полученные результаты в уравнения (12.12), получим:

. (12.14)

Система (12.14) содержит алгебраические однородные линейные уравнения для нахождения амплитуд . Система уравнений (12.14) имеет решение отличное от нуля, если определитель этой системы равен нулю:

.

. (12.17)

И окончательно, общее решение: