Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью ; поток обслуживаний имеет интенсивность , обратную среднему времени обслуживания заявки tоб. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Lсист- среднее число заявок в системе;

Wсист- среднее время пребывания заявки в системе;

Lоч- среднее число заявок в очереди;

Wоч- среднее время пребывания заявки в очереди;

Рзан- вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь не ограничена, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А = , по той же причине Q=1.

Решение. Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S0- канал свободен;

S1- канал занят, очереди нет;

S2- канал занят, одна заявка стоит в очереди; и т.д.

Теоретически число состояний ничем не ограничено. Граф состояний имеет вид

Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью . Если > , то канал с заявками не справляется, очередь растет до бесконечности. Если ≤ , то задача вполне разрешима.