Построение доверительного интервала

Проверка значимости полученного значения линейного коэффициента корреляции r_xy ничего не говорит о том, насколько это значение может отличаться от точного значения. Ответ на этот вопрос дает построение доверительного интервала.

Под доверительным интервалом понимаются пределы, в которых лежит точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью (P = 1-α).

Вычисленное на основании данных таблицы 1.1 значение r_xy рассматривается как приближенное, отличающееся от точного значения линейного коэффициента корреляции, обозначаемого . Ставится задача определить такой интервал (r^– , r⁺), который будет содержать точное значение с заданной вероятностью.

Если в границы доверительного интервала попадет нулевое значение, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то значение r_xy принимается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Для статистически значимого коэффициента корреляции доверительный интервал получают с использованием Z- преобразования Фишера . Первоначально определяется приближенное значение величины z по формуле

. (1.6)

Затем для точного значения определяется интервальная оценка, т. е. вычисляются границы доверительного интервала (z^– , z⁺), такого, что с заданной вероятностью выполняется условие z^– < < z⁺

(1.7)

где t ₁_-α/2 – квантиль стандартного нормального распределения порядка 1–α/2.

Граничные значения доверительного интервала (r^– , r⁺) для получаются из граничных значений доверительного интервала (z^– , z⁺) для с помощью обратного Z- преобразования Фишера

. (1.8)

Контрольные вопросы:

1. Как вычисляется линейный коэффициент парной корреляции ?

2. Как осуществляется оценка статистической значимости линейного коэффициента парной корреляции ?

3. Что называется уровнем значимости?

4. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?

Задачи.

1. По величине коэффициента линейной корреляции r _xy = 0,46 определить степень тесноты зависимости между признаками x и y. (Слабая).

2. Можно ли говорить о наличии линейной зависимости между переменными x и y, если по 52 наблюдениям было получено значение = 0,42. Ответ дать с вероятностью ошибки 5 %. (Можно).

Лабораторная работа№ 1

Задание. На основании данных таблицы П1.1 для соответствующего варианта (табл. 1.3):

1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции .

2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции при заданном уровне значимости α.

3. Построить доверительный интервал для значимого линейного коэффициента парной корреляции .

Таблица 1. 3

Варианты кривых выравнивания к лабораторной работе № 1

Вариант	Графы из табл. П1.1	Уровень значимости
	1, 2	0,05
	1, 3	0,025
	1, 4	0,01
	1, 5	0,05
	1, 6	0,025
	1, 7	0,01
	1, 8	0,05
	2,3	0,025
	2, 4	0,01
	2, 5	0,05
	2, 6	0,025
	2, 7	0,01
	2, 8	0,05
	3,4	0,025
	3,5	0,01
	3, 6	0,05
	3, 7	0,025
	3, 8	0,01
	4,5	0,05
	4,6	0,025
	4,7	0,01
	4,8	0,05
	5,6	0,025
	5,7	0,01
	5,8	0,05

Пример выполнения лабораторной работы№ 1

Исходные данные:

- наблюдаемые значения переменных x и y заданы в таблице 1.4;

- уровень значимости α = 0,05.

Таблица 1. 4

Исходные данные

Области	x	y	Области	x	y
Белгородская			Рязанская область
Брянская			Смоленская
Владимирская			Тамбовская
Воронежская			Тверская
Ивановская			Тульская
Калужская			Ярославская
Костромская			Архангельская
Курская			Вологодская
Липецкая			Калининградская
Московская			Ленинградская
Орловская			Мурманская

1) Вычисление σ_x, σ_y и (1.3), (1.4). Используя данные таблицы 1.5 получим

Таблица 1. 5

Промежуточные результаты расчетов

Номер наблюдения	x	y	x ²	y ²	xy		( –y)²	()²
						33,16	34,13	1,00
						37,24	0,06	9,00
						37,24	1,54	16,00
						36,49	0,24	16,00
						38,75	162,52	196,00
						43,34	0,12	9,00
						34,63	13,19	81,00
						33,16	46,81	0,00
						36,49	132,44	64,00
						42,95	442,90	576,00
						37,99	1,01	1,00
						35,75	3,05	36,00
						37,62	1,91	1,00
						35,00	3,99	9,00
						36,49	2,22	25,00

Продолжение таблицы 1. 5

Номер наблюдения	x	y	x ²	y ²	xy		( –y)²	()²
						40,65	178,23	196,00
						41,80	33,63	16,00
						41,80	46,23	25,00
						42,57	73,42	36,00
						37,24	115,76	64,00
						36,87	47,14	100,00
						46,85	147,58	361,00
Сумма						844,081	1488,136
Среднее значение	126,91		16190,55	1683,545	5116,636	38,367	67,643	83,545

= 9,199,

= 9,140,

= 0,479.

2) Проверка значимости (1.5).

= 2,44.

Для определения t _крит может использоваться статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР(0,05;20) из MS Excel, либо функция TINV(0,05;20) из OpenOffice.org Calc, либо таблица П4.2 из приложения.

При α = 0,05 и степени свободы k = n –2 = 20–2 = 20

t _крит = t ₁_-α,_n-2 = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;20) =2,086.

Рис. 1.1 Окно ввода параметров функции СТЬЮДРАСПОБР() MS Excel

Так как

= 2,44 > t ₁_-α,_n-2 = 2,086,

то делаем вывод о статистической значимости линейного коэффициента парной корреляции .

3) Построение доверительного интервала для линейного коэффициента корреляции (1.8) – (1.10).

Определим величину z (1.8) Z- преобразования Фишера

= 0,522.

Для определения t ₁_-α/2 – квантиля стандартного нормального распределения порядка 1–α/2 = 1 – 0,05/2 = 0,975 может использоваться статистическая функция НОРМСТОБР(0,975) из MS Excel, либо функция NORMSINV(0,975) из OpenOffice.org Calc, либо таблицы П4.1 из приложения.

t ₁_-α/2 = НОРМСТОБР(0,975) = 1,96.

Рис. 1.3 Окно ввода параметров функции НОРМСТОБР() MS Excel

Для получения t ₁_-α/2 из таблицы П4.1 нужно использовать соотношение

1-α/2 – 0,5 = Ф(t ₁_-α/2),

т. е. нужно определить ячейку (клетку) таблицы П4.1, содержащую значение 1-α/2 – 0,5 и сложить значение t, соответствующее данной строке с номером столбца, умноженным на 0,01: t ₁_-α/2 = t + Nстолбца·0,01.

Так как α = 0,5, 1-α/2 – 0,5 = 1 – 0,05/2 -0,5 = 0,475. Ячейке, содержащей число 0,475, соответствуют t = 1,9 и Nстолбца = 6, поэтому

t ₁_-α/2 = t + Nстолбца·0,01 = 1,9 + 0,06 = 1,96.

Вычислим .