Точечные статистические оценки не несут информации о точности полученных результатов, т.к. в результате мы имеем только одно значение.
Найдем интервал . Таким образом, чтобы для заданной вероятности g.
Где m - теоретическое значение оцениваемой числовой характеристики, g -доверительная вероятность или надежность.
и - нижние и верхние границы интервала, они являются статистиками подлежащими определению. Тогда разница - - длина доверительного интервала и длина доверительного интервала зависит от объема выборки и доверительной вероятности, причем она увеличивается при уменьшении объема выборки и увеличении доверительной вероятности. При g =1 доверительный интервал совпадает со множеством значений оцениваемой числовой характеристики m.
1 Оценка математического ожидания нормальной случайной величины в случае известной дисперсии.
Пусть x принадлежит нормальному закону распределения
причем дисперсия s2 известна, необходимо по выборке
построить доверительный интервал для математического ожидания m:
|
|
, где функция Лапласа, t- находится по таблице.
При этом необходимо, чтобы длина доверительного интервала была минимальной при заданной вероятности. Из теории вероятности известно, что при сделанных предположениях, статистика
m1 -выборочная средняя или распределена по нормальному закону, что N(0;1), где функция четная.
Выбирая для t - доверительный интервал симметричный относительно начала координат, при этом длина интервала будет минимальной, получим, что , т.е. случайное событие эквивалентно неравенству
.
Умножим, выразим, получим доверительный интервал
,
m - высокая точность интервальной оценки, на практике t не берут близким к 1, в этом случае точность оценки будет высока.
2 Оценка математического ожидания нормальной случайной величины в случае неизвестной дисперсии.
В отличие от рассмотренного случая статистика t рассматривается как
.
где m1 - также выборочная средняя;
- исправленная выборочная дисперсия;
Из теории вероятности известно, что статистика t имеет распределение Cтъюдента, говорят с (n- 1 ) степенью свободы.
Аналогично предыдущему случаю:
;
- ищется по таблице распределения Стъюдента с (n- 1 ) степенью свободы.
Если число степеней свободы >30, то распределение Стъюдента практически совпадает со стандартным нормальным законом.
3 Оценка дисперсий нормальной случайной величины в случае известного математического ожидания.
В этом случае статистика -состоятельная несмещенная оценка дисперсий.
.
Если раскрыть это соотношение, то
Эта статистика имеет распределение Пирсона с -степенями свободы, график этого распределения выглядит следующим образом
|
|
t1 и t2 выбирают так, чтобы
т.е. заштрихованная на рисунке площадь под графиком равна доверительной вероятности.
Условие минимума длины доверительного интервала
f(t1)= f(t2).
На практике удовлетворить этому условию трудно, поэтому поступают так:
Берут t1 и t2 и такими, чтобы заштрихованные на рисунке площади совпадали, тогда вероятность того, что
;
Тогда доверительный интервал для дисперсии
.
При большом числе степеней свободы >30, распределение Пирсона совпадает с нормальным распределением.
4. Оценка дисперсии нормальной случайной величины в случае неизвестного математического ожидания.
Статистика t будет определяться таким образом, как
и распределение осуществляется по закону
степень свободы распределения Пирсона.
-исправленная выборочная оценка.
;
Причем t1 и t2 находим из таблиц распределения Пирсона с (n- 1 ) степенью свободы по заданной доверительной вероятности .