Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина X может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была положительная величина x той же размерности, что и X, всегда выполняется неравенство

. (6.1)

Известно, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, следовательно,

или

.

Отсюда и из неравенства (6.1) следует, что

. (6.2)

Неравенства (6.1) и (6.2) называют неравенствами Маркова.

Тест 6.1. чтобы имело место неравенство Маркова, случайная величина X должна:

1) принимать только неотрицательные значения;

2) иметь математическое ожидание;

3) принимать только положительные значения и иметь математи-ческое ожидание;

4) принимать только неотрицательные значения и иметь математическое ожидание;

5) принимать только отрицательные значения и иметь математи-ческое ожидание.

Пример 6.1. Средний срок службы мотора – 4 года. Используя неравенство Маркова, оценить вероятность того, что данный мотор прослужит менее 20 лет.

Решение

Пусть Х – срок службы мотора. Х –непрерывная случайная величина. Требуется оценить вероятность Р (Х < 20). По условию , . Воспользовавшись неравенством (6.1), получим .

Ответ: .

Пример 6.2. Среднее число дождливых дней в году в данном пункте равно 90. Используя неравенство Маркова, оценить вероятность того, что в этом пункте будет не менее 150 дождливых дней в году.

Решение

Пусть X – число дождливых дней в году в данном пункте. X – дискретная случайная величина. По условию M (X) = 90, x = 150. Применяя неравенство (6.2), находим

.

Ответ: .

Тест 6.2. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Оценкой вероятности того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г, по неравенству Маркова является выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 6.3. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценкой вероятности того, что в данном году будет направлено в аспирантуру не менее 220 молодых специалистов, по неравенству Маркова является выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 6.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 12000 кВт × ч. Оценкой вероятности того, что потребление электроэнергии в этом населенном пункте в течение данных суток не менее 50000 кВт×ч, по неравенству Маркова является выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .