Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины Х, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

. (6.3)

Известно, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице, следовательно,

или

.

Отсюда и из неравенства (6.3) следует, что

. (6.4)

Неравенство (6.4) называют второй формой неравенства Чебышева.

Тест 6.5. чтобы для случайной величины Х имело место неравенство Чебышева, она должна обладать свойством:

1) математическое ожидание M (X) конечно;

2) дисперсия D (X) конечна;

3) M (X) не существует;

4) D (X) = ¥;

5) M (X) = ¥.

Пример 6.3. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1,66. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 2.

Решение

По условию D (X) = 1,66, e = 2. Применяя неравенство (6.3), находим .

Ответ: .

Пример 6.4. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,001.

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,1.

Решение

По условию D (X) = 0,001, e = 0,1.

Применяя неравенство (6.4), находим

.

Ответ: .

Тест 6.6. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 1620. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 200, по неравенству Чебышева является выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 6.7. Случайная величина X имеет дисперсию D (X) = 0,004. Оценкой вероятности того, что случайная величина X отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 0,2, по неравенству Чебышева является выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .