Соотношение средних и выбор формы средней

1) В процессе массового наблюдения регистрируются количественные варьирующие значения признаков, присущие каждому элементу, каждой единице совокупности. Например, размер месячной заработной платы каждого рабочего, количество членов каждой семьи, стоимость валовой продукции каждого предприятия и т.п. В процессе группировки и сводки эти индивидуальные показатели обобщаются, т.е. суммируются, в результате чего получаются данные об объеме варьирующего признака, как, например, о фонде заработной платы рабочих, о численности населения, о стоимости валовой продукции в учтенных предприятиях. Но суммарные показатели не могут характеризовать уровень месячной заработной платы рабочих, размеры семей, размеры предприятий, так как эти суммы зависят не только от уровней, свойственных единицам совокупностей, но и от численности единиц, объединяемых совокупностью, в наших примерах от численности учтенных рабочих, семей, предприятий. Поэтому для характеристики уровней признака, свойственных единицам совокупностей, надо в приведенных примерах из суммарных показателей исключить влияние численности единиц, объединяемых совокупностью. Для этого необходимо сумму варьирующих значений признака всех единиц совокупности, т.е. объем варьирующего признака, поделить на объем совокупности, т.е. на число единиц, входящих в совокупности, и получить среднее значение признака, как-то: среднюю месячную заработную плату, средний размер семьи, средний размер предприятия по производству валовой продукции.

объем варьирующего признака

Отношение: ------------------------------------------ называется количественным

объем совокупности

соотношением для исчисления средней величины. Размерность средней такая же, как и размерность индивидуальных значений признака. Так, средняя месячная заработная плата – это заработная плата в расчете на одного рабочего в рублях, средний размер семьи – число членов семьи в расчете на одну семью, средний размер предприятий по размеру валовой продукции – объем валовой продукции на одно предприятие в рублях. Такие средние характеризуют общую меру признака, принимающего различные значения у отдельных единиц совокупности. Средние являются именованными числами и выражены в тех же единицах измерения, в каких выражен признак.

Средняя величина обладает рядом важных свойств, благодаря которым она является наиболее распространенной сводной характеристикой статистической совокупности. К важнейшим ее свойствам относится то, что она не просто продукт счета, а количественная характеристика объективного свойства совокупности, и что в средней проявляются закономерности, свойственные массовым процессам общественной жизни. Средняя удобна к тому же тем, что она в виде одной величины дает обобщенную характеристику того или иного свойства совокупности, к которой она относится, характеризует уровень явления, сопоставимый во времени и пространстве.

Из сказанного видно, что средняя является обобщающей характеристикой совокупности. Она обобщает многие индивидуальные величины и нужна для измерения уровня признака совокупности в данных конкретных условиях места и времени и для сравнения уровней признака в разных совокупностях. Эти качества средней имеют исключительно важное значение для анализа, особенно для выявления и изучения закономерностей жизни общества.

Средние величины статистика применяет как для целостной характеристики системы, совокупности, так и для характеристики отдельных подсистем, отдельных типических групп, составляющих систему, совокупность. Средние, характеризующие систему, совокупность в целом, называются системными или общими средними, а средние, характеризующие подсистемы, типические группы и подгруппы, называются групповыми или подсистемными.

Системные (общие) и групповые (подсистемные) средние являются реальными средними, так как они характеризуют реальные системы, подсистемы и группы единиц совокупности, но они отличаются друг от друга по существу. Групповая (подсистемная) средняя, поскольку она относится к однородной совокупности, количественно выражает то или иное свойство ее и в то же время типична для каждой единицы этой совокупности как ее часть. Системная же средняя как средняя, относящаяся к совокупности разнородных частей, групп и единиц, но органически связанных между собой в систему, количественно выражает то или иное свойство системы, но не типична для отдельных частей, групп и единиц, составляющих систему.

2) При определении понятий «средняя величина» и «относительная величина» было указано, что первая является мерой признака в расчете на единицу совокупности, а вторая – мерой соотношения двух разноименных и разнокачественных показателей. Этим и отличается одна величина от другой. Но средняя величина может быть получена и из варьирующих относительных величин. Поэтому возникает вопрос: что представляет собой такая средняя – среднюю или относительную величину? Кроме того, относительная величина интенсивности является именованным числом и также исчисляется в расчете на единицу совокупности. Почему же показатель интенсивности относят к относительным величинам, а не к средним?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим пример. Показатель удельного веса женщин в общей численности населения СССР на 1 января 1980 года – 53,4 % - является, по существу, средним показателем из таких же относительных показателей по республикам, а республиканские показатели являются средними из областных и т.д. Однако сущность этого среднего показателя, как и других средних, полученных из относительных величин, определяется тем, что он, оставаясь относительной величиной, представляет интерес как мера соотношения, а не как мера в расчете на единицу совокупности.

Понятие «интенсивность» емкое и характеризуется в статистике как средними, так и относительными величинами, например средней выработкой на одного рабочего и процентом выполнения и перевыполнения планов и норм. Поэтому в статистической литературе нет четкого разграничения между средними показателями и относительными показателями интенсивности. Относительный показатель интенсивности введен в статистику известным русским статистиком А.А.Кауфманом в начале ХХ в. для характеристики распространенности явлений в среде, а не для определения меры признака в расчете на единицу совокупности. Из смыслового значения показателя следует исходить при решении вопроса о том, является ли данный показатель средней величиной или относительным показателем интенсивности. Рассмотрим следующие примеры. Средняя месячная заработная плата рабочих и служащих является средней величиной, так как все работающие получают заработную плату, т.е. всем им свойственен этот признак, а средний показатель получается

объем варьирующего признака

на основе исходного количественного ------------------------------------------ соотно-

объем совокупности

шения. Средней величиной является также количество выплавленного металла, производство электроэнергии и другой продукции на одного работника занятого в каждой данной отрасли. Эти средние характеризуют уровень производительности труда работников отрасли. Заработная же плата на душу населения семей рабочих и служащих, как и количество произведенного металла, выработанной электроэнергии и т.п. на душу населения страны, не характеризует ни уровня заработной платы, ни производительности труда, так как не все члены семей рабочих и служащих получают заработную плату и не все население страны, а только его часть участвует в производстве продукции.

фонд заработной платы объем производства

Соотношения ------------------------------------------------- и -----------------------------

рабочие, служащие и члены их семей население страны

характеризуют уровень благосостояния населения, уровень экономического развития страны, условия существования населения и являются относительными показателями интенсивности. Такие относительные показатели имеют самостоятельное значение, так как они позволяют сравнивать во времени и пространстве степень распространенности или развитости явления в той или иной среде.

В некоторых случаях один и тот же обобщающий показатель может в зависимости от цели исследования выполнять как функцию средней, так и функцию относительного показателя интенсивности. Таким, например, является показатель плотности населения. Для характеристики заселенности

численность населения

данной территории пользуются соотношением -------------------------------. В этом

размер территории

соотношении числитель – объем варьирующего признака, знаменатель – объем совокупности, а дробь в целом – исходное количественное соотношение для определения меры признака в расчете на единицу совокупности, т.е. для определения средней. Например, на начало 1979 г. на 1 км² приходилось в среднем в Черниговской области 47,1 жителя, а в Черновицкой – 109,9 жителя, т.е. почти в 2,5 раза больше. Если же указанное соотношение используется для характеристики одного из условий жизни населения, его существования, то знаменатель рассматривается не как объем совокупности, а как среда, в которой проживает население. С этой точки зрения приведенное соотношение выполняет функции не средней, а относительной величины интенсивности, так как оно не характеризует с какой-либо стороны ни население, ни территорию, а представляет интерес как отношение двух явлений, связанных между собой. При таком смысловом подходе к определению различий между средней и относительной величиной интенсивности становится возможным точно провести грань между ними.

3) В статистике применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и др. Каждый вид средней имеет свои особые свойства, которые наиболее полно соответствуют решению определенной задачи. Поэтому одним из основных вопросов, который возникает при использовании средних, является выбор способа расчета, т.е. формы средней. Форму средней выбирают исходя из экономической сущности осредняемого признака. Самым распространенным видом средней, применяемой в социально-экономическом анализе, является средняя арифметическая.

Рассмотрим среднюю арифметическую и способы ее вычисления.

Допустим, что варьирующим признаком является выработка деталей в час рабочими бригады и часовая производительность каждого из них такая:

Табельный номер рабочего
Выработка деталей в час (х)

Необходимо определить среднюю выработку в час. Объемом варьирующего признака (определяющим показателем) является сумма значений варьирующего признака, т.е. общая выработка всеми рабочими в час: 12+10+6+10+12+10=60 деталей. Объем же совокупности, т.е. число отработанных всеми рабочими часов, равен 6. Следовательно, средняя

выработка в час равна: ----- = 10 деталям.

Если варьирующий признак обозначить х, отдельные его значения – х₁, х₂,…,х_n, а объем совокупности – n, то алгебраическое решение задачи может быть представлено в общем виде. Объем варьирующего признака равен х₁+х₂+…+х_n. Он должен остаться без изменения при замене всех эмпирических значений их средним значением. Следовательно,

х₁ + х₂ + … + х_n = х + х + … +х = nх₁, отсюда

i = n

х₁ + х₂ + … + х_n ∑ х_i ∑ х

х = ------------------------------- = ----------, или проще х = ---------.

n n n

Средняя в таком виде называется средней арифметической простой. Она применяется, когда объем совокупности варьирующего признака представляет собой простую сумму индивидуальных значений признака, которые осредняются, т.е. когда определяющая функция

F (x₁, x₂,, …, x_n) = x₁ + x₂ + … + x_n = ∑ x_i.

В нашем примере всего шесть индивидуальных значений признака, и получить сумму не представляет никаких трудностей. Статистика же имеет обычно дело с большими совокупностями и непосредственный подсчет суммы значений признака у всех единиц совокупности требует часто огромных затрат времени. Однако в больших совокупностях одни и те же значения признака многократно повторяются, так как количество вариантов признака обычно всегда значительно меньше, чем количество единиц совокупности. Например, допустим, что в Таджикистане около 80 тыс. рабочих, а тарифных разрядов меньше 10. Кроме того, если вариантов много, особенно если варьирующий признак непрерывный, т.е. принимает в некоторых границах любые целые и дробные значения, как, например, месячная заработная плата в сомони, то можно эти значения объединить в небольшое число групп, например: до 80 сомони, от 80 до 100 сомони и т.п., т.е. представить значения вариантов в виде интервала «от … до…» и таким образом свести количество вариантов к небольшому числу. Так значительно облегчается определение объема варьирующего признака, особенно в больших совокупностях, но при этом используется другая формула средней и другая методика расчета. Это можно видеть и на рассмотренном примере с определением средней выработки в час на одного рабочего (см. таблицу 7). В этом примере шесть рабочих, а вариантов часовой выработки лишь три: 6, 10 и 12 деталей. Если разгруппировать рабочих по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (таблица 7).

Таблица 7	Именно таким образом поступают в статистике, оперирующей как правило, значительными совокупностями. Мы же для иллюстрации оперируем несколькими единицами совокупности для того, чтобы легче было разобраться в сущности и механизме исчисления средних величин. Объем варьирующего признака
Распределение рабочих по выработке деталей, шт
Варианты выработки деталей за час (х)	Число рабочих с данной выработкой (f)	Объем варьирующего признака (xf)
Итого

получаем в нашем примере не как суммы отдельных значений признака, а как сумму произведений вариантов х на их частоты f: 6*1 + 3*10 + 12*2 = 60. Этот процесс умножения в статистике принято называть взвешиванием, а число единиц совокупности с одинаковыми значениями признака – весами, которые являются множителями при исчислении средней взвешенной.

Если бы часовая выработка всех рабочих х_i была одна и та же х, указанная сумма была бы равна х* 1 + х *3 + х *2 = 6 х. Так как при замене эмпирических значений признака их средним значением объем варьирующего признака должен оставаться без изменений, то 6 х = 60, откуда х = ⁶⁰/₆ = 10 шт.

Из примера видно, что средняя не меняется от того, что объем совокупности определен не путем суммирования отдельных значений признака, а путем перемножения (взвешивания) вариантов признака на их частоты. Следовательно, взвешивание – не что иное, как технический прием, посредством которого суммирование одинаковых значений заменяется умножением этих значений на их частоты.

В общем виде переход от одного технического приема расчета средней к другому может быть представлен так.

Если объем варьирующего признака или, иначе, определяющий показатель состоит из суммы слагаемых вида х ₁ f ₁ + x ₂ f ₂ + … + x _n f _n, то после замены всех х _i одним и тем же значением х, сумма превращается в (f₁ + f ₂+ … + f_n) x.

Поскольку должно выполняться равенство

(f₁ + f ₂+ … + f_n) x. = х ₁ f ₁ + x ₂ f ₂ + … + x _n f _n,

средняя определяется по такой формуле:

х ₁ f ₁ + x ₂ f ₂ + … + x _n f _n ∑ х_i f_i

х = ---------------------------- = -----------, где

f₁ + f ₂+ … + f_n ∑ f_i

∑ х_i f_i – объем варьирующего признака, а ∑ f_i – объем совокупности.

Вычисленная по такой формуле средняя называется средней арифметической взвешенной. Она чаще других средних применяется в статистике и представляет собой среднюю из вариантов, которые повторяются различное число раз или, как говорят, имеют различный вес. В таких случаях применение простой средней арифметической вместо взвешенной приводит к

6+10+12

ошибке. Так, в нашем примере простая средняя неточна. Она равна: ----------- =

6*1+10*3+12*3 = 9,33. Точной же будет взвешенная средняя, равная ---------------------- = 10.

Простой средней пользуются только в тех случаях, когда у каждого варианта частота равна единице, либо когда все частоты равны между собой.

Рассмотрим расчет средней из групповых средних. Варианты, по которым исчисляется взвешенная средняя арифметическая, могут быть как в приведенных примерах, отдельными значениями признака, но могут быть и подсистемными групповыми средними величинами, что бывает в двух случаях.

Варианты признака являются групповыми или пообъектными средними величинами. Например, имеются данные о среднемесячной заработной плате рабочих по заводам, трестам, отдельным отраслям промышленности и т.п. (групповые средние), а нужны общие средние по более крупным совокупностям, системам – по промышленности в целом, по министерству в целом и т.п. Допустим, что имеются данные по предприятиям двух отраслей области, показанные в таблице 8.

Таблица 8.

Выпуск продукции по предприятиям промышленности
Отрасль промышленности	Количество предприятий (f)	Валовая продукция, млн. руб.
в среднем на одно предприятие (хi)	Всех предприятий (хi f)
Легкая		7,5
Пищевая		10,0
ИТОГО		8,3

Требуется определить средний объем продукции, приходящейся на одно предприятие, по совокупности двух отраслей области.

Задача эта по существу ничем не отличается от предыдущей, и в данном случае имеются сведения о вариантах и частотах, по которым нужно определить объем варьирующего признака и объем совокупности. Разница заключается лишь в том, что в рассматриваемом примере осредняемые варианты являются групповыми средними величинами х_i. но и в этом случае объем варьирующего признака (валовая продукция всех предприятий) определяется как сумма произведений вариантов х_i на их частоты f_i, объем совокупности – как сумма частот ∑ f_i и общая средняя х – на основе исходного количественного соотношения:

объем варьирующего признака x₁ f₁ + x₂ f₂

х = -------------------------------------------- = ------------------ =

объем совокупности f₁ + f₂

7,5*100 + 10,0*50

= ---------------------------- = 8,3 млн. руб.

100 + 50

Следовательно, при вычислении общей средней арифметической из групповых средних каждая групповая средняя рассматривается как вариант, а число единиц в группе, в расчете на которые определены групповые, - как частота. Общая же средняя равна средней арифметической из групповых средних, взятых с частотами, равными объемам совокупностей, для которых вычислены групповые средние. Аналогично определяются общие (системные) средние на основе пообъектных средних, как, например, средние показатели размера предприятий по министерству в целом на основе данных о численности предприятий и средних показателей по трестам и объединениям, средние показатели урожайности с гектара по области или республике в целом на основе данных о площадях посева и урожайности по районам и т.п.

Рассмотрим как определяется средняя интервального ряда. Варианты, по которым исчисляются средние, могут сами быть средними и в тех случаях, когда варьирующие значения признака даны в интервалах. Это наблюдается тогда, когда общая средняя нужна для характеристики вариационного ряда распределения, подобного приведенному в таблице 9.

Для исчисления общего среднего уровня вооруженности работников промышленности основными фондами нужно и в данном случае определить объем варьирующего признака ∑ x_i f_i. Но в интервальном ряду варианты x_i обозначены двумя крайними значениями интервала – нижним и верхним. Если взять для расчета нижние границы интервалов, то объем варьирующего признака, а, следовательно, и средняя будут занижены. Если же ориентироваться на верхние границы, объем признака и средняя будут завышены. Принято в таких случаях пользоваться серединными значениями интервалов, которые определяются как простые средние арифметические из двух крайних значений интервалов, как это сделано в таблице 9.

Таблица 9.

Распределение промышленных предприятий по вооруженности работников промышленно-производственными фондами.
Основные фонды на одного работника, тыс. руб	Число предприятий	Среднегодовая численность работников, тыс. f	Середина интервала, тыс. руб. x’	Стоимость промышленно-производственных основных фондов, млн. руб. xx’ f
До 1,0			0,5	125,5
От 1,0-2,0			1,5	589,5
2,0-3,0			2,5	1200,0
3,0-5,0			4,0	3000,0
5,0-10,0			7,5	5872,5
10,0-20,0			15,0	5115,0
20,0 и более			25,0	5550,0
ИТОГО			-	16452,5

В тех случаях, когда первый и последний интервалы являются открытыми, как в нашем примере, средние их значения определяются обычно с таким расчетом, чтобы величина этих интервалов была такой же, как и соседних. В нашем примере величина второго интервала равна 1 тыс. руб. Если считать, что величина и первого интервала такая же, то его середина равна 0,5 тыс. руб. Величина предпоследнего интервала равна 10 тыс. руб. Поэтому границами последнего интервала следует считать 20,0-30,0 тыс. руб., а серединой интервала – 25,0 тыс. руб.

Полученные таким образом средние значения интервалов рассматриваются как дискретные значения варьирующего признака, которые нужно умножить на соответствующие частоты для того, чтобы определить общий объем варьирующего признака сначала по каждой группе изучаемой совокупности, а затем по совокупности в целом. Необходимо при этом обязательно учесть, что частотами являются лишь числа, показывающие, сколько раз повторяется каждое значение осредняемого признака, положенного в основу группировки единиц совокупности. В нашем примере осредняемым признаком x_i является стоимость основных фондов в расчете на одного работника. Следовательно, для определения объема варьирующего признака, т.е. общей стоимости фондов x_i f_i, надо по каждой группе осредняемый признак x_i умножить на число работников, которое и является частотой f_i осредняемого признака, а не на число предприятий, являющееся частотой вариационного ряда. Умножение на число предприятий дает к тому же бессмысленный результат.

Не следует поэтому смешивать частоты осредняемого признака с частотами вариационного ряда, хотя в некоторых случаях имеет смысл пользоваться частотами вариационного ряда, когда не известны частоты варьирующего признака. В нашем примере

16452,5

∑ x_i f_i = 16452.5 млн. руб., ∑ f_i = 3220 тыс. работников, а х = ----------- = 5,1 тыс.р

Иначе говоря, на одного работника в промышленности республики приходится 5,1 тыс. руб. основных фондов.

Если бы в нашем примере осредняемым признаком была стоимость основных фондов в расчете на одно предприятие, а не на одного работника, то для определения объема варьирующего признака надо было бы по каждой группе эту стоимость умножить на число предприятий, т.е. на частоту варьирующего признака, которая в данном случае является и частотой вариационного ряда.

Обобщая вытекающие из приведенного примера выводы, можно сформулировать следующие правила.

1. При расчете средней арифметической взвешенной по данным вариационного ряда частотами (весами) всегда являются числа, показывающие, сколько раз повторяется каждое значение осредняемого признака, положенного в основу группировки элементов совокупности. Сумма этих чисел равна объему общей численности совокупности.

Это правило относится к исчислению любой средней арифметической взвешенной, если варьирующие значения признака, характеризующие единицы совокупности, выражены в абсолютных величинах, как это, в частности, видно из следующих примеров.

Осредняемые признаки		Веса средней
1. Месячная заработная плата рабочего, руб.		Численность рабочих, получающих заработную плату
2. Выработка рабочего за месяц, шт.		Численность рабочих, занятых на данной работе
3. Выработка в час, шт.		Количество отработанных часов
4. Себестоимость единицы продукции, руб.		Количество произведенной продукции
5. Размер колхоза по количеству колхозных дворов		Количество колхозов
6. Энергетическая мощность предприятий, кВт		Количество предприятий

Трудности в определении весов, на что указывается в статистической литературе, возникают обычно из-за того, что упускается из виду названное элементарное правило.

2. Частоты вариационного ряда не могут служить весами для определения средней, если единица измерения признака, положенного в основу группировки, не совпадает с единицей измерения элементов совокупности.

Так, если предприятия группируются по перечисленным выше шести признакам, то частотами вариационного ряда являются количества предприятий, но эти частоты не могут служить весами при исчислении средней для первых четырех признаков. Для последних же двух они являются весами.

Средние, исчисленные на основе интервального ряда, являются приближенными. Степень приближения, или точности таких средних, зависит от ряда причин. Во-первых, от того, в какой мере распределения единиц совокупности внутри интервала приближается к такому распределению (равномерному, симметричному), для которого взвешенная средняя арифметическая совпадает с серединой интервала. Если такое распределение объективно свойственно явлению и это учтено при выборе интервала, то решающее значение для точности средней имеет число единиц совокупности, попавших в каждый данный интервал, так как при достаточно большом числе единиц исчисленная средняя достаточно близка к объективно возможной средней, совпадающей с серединой интервала.

Точность средней зависит, во-вторых, от величины интервала. Чем уже интервал, тем меньше ошибка, вызванная тем, что середина интервала принимается в качестве среднего значения его. Так, в приведенном нами примере (таблица 9) в первых группах с интервалом в 1 тыс. рублей пределы ошибки меньше 0,5 тыс. руб., а в последних группах с интервалом в 10 тыс. руб. возможны и более значительные ошибки. Это особенно относится к последней группе с открытым интервалом, для которой верхняя граница интервала установлена нами условно. При неравных интервалах точность средней, исчисленной по интервальному ряду распределения, меньше, чем, при равных.

Рассмотрим вычисление средней из относительных величин. При помощи средних обобщаются не только абсолютные, но и относительные значения варьирующего признака. Методика и сложность расчета средних из относительных величин зависит от того, какие относительные величины обобщаются. Если все они получены путем сравнения одноименных и соизмеримых величин, то техника расчета средней из относительных величин такая же, как и средней из групповых средних.[1] Это видно из примера исчисления среднего показателя выполнения плана и средней месячной заработной платы по двум цехам завода (таблица 10).

Таблица 10.

Номер цеха	Производственный план на январь, тыс. руб.	Выполнение плана, %	Численность рабочих, чел.	Средняя месячная заработная плата, руб.

Средний процент выполнения плана составил:

110 *150 + 120 * 350 58500

х = ---------------------------- = ------------- = 117 %

150 + 350 500

Средняя заработная плата равна:

150 * 100 + 180 * 200 5100

х = ------------------------------ = ----------- = 170 руб.

100 + 200 300

Несмотря, однако, на то, что техника расчета средней из относительных величин такая же, как и средней из групповых средних, полученные результаты различаются по существу. Во-первых, при осреднении групповых средних весами служит объем групповых совокупностей, а при осреднении относительных показателей – величины, принятые в качестве базы для их исчисления, для сравнения. Во-вторых, средняя из средних является средней величиной, а средняя из относительных величин остается относительной величиной.

Сложнее методика осреднения относительных величин, получаемых в результате сравнения разнородных и несоизмеримых элементов.

Рассмотрим расчет средних величин взаимосвязанных признаков. В статистической практике часто приходится исчислять средние величины трех варьирующих признаков, связанных между собой как два сомножителя с произведением, например, площадь, урожайность и валовой сбор колхоза; отработано времени, произведено продукции в час и всего произведено продукции рабочими и т.п. Из подобных трех признаков, характеризующих каждую единицу совокупности, первый и третий являются первичными признаками, так как они характеризуют объекты непосредственно. Второй признак является вторичным (производным), так как он характеризует объекты через соотношение первого и третьего признаков и вычисляется как средняя величина одного признака, приходящаяся на единицу измерения другого признака. Взаимосвязь между этими тремя признаками может быть выражена

v

так: f_x = v, а x = ---, где f - первый, x – второй и v – третий признак.

f

При исчислении средних по этим признакам для совокупности в целом исходят из того, что существующая между признаками связь, выражающая определенное их свойство, должна быть соблюдена и в средних величинах, т.е.

f * x = v. Это может быть обеспечено, если все три средние величины будут определены на основе исходного количественного соотношения:

объем варьирующего признака

----------------------------------------. Поэтому средние значения первичных

объем совокупности

признаков исчисляются как средние арифметические простые по формулам

∑ f_i ∑ v_i

f = ----- и v = -----, а средняявторичного (производного) признака –

n n

∑ v_i ∑ x_i f_i

по формуле средней арифметической взвешенной х = ------ = --------, так как

∑ f_i ∑ f_i

только при учете весов может быть обеспечено равенство f * x = v. Например, если один рабочий за 6 часов сделал 60 деталей, или в среднем по 10 деталей в час, а второй за 4 часа – 32 детали, или в среднем по 8 деталей, то среднее

6 + 4

количество часов работы равно: -------- = 5, среднее количество изготовленных

60 + 32 10 + 8

деталей - ----------- = 46, а средняя выработка в час составит не 9 (-----------), а

2 2

10 * 6 + 8 * 4

9,2 (----------------------). При этих условиях

6 + 4

f * x = v, т.е. 5 * 9,2 = 46, а не 5 * 9 = 46.

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, важных как для понимания сущности средней, так и для упрощения ее расчетов. Мы рассмотрим лишь те свойства, которые имеют значение для правильного использования средних величин.

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты, т.е. x ∑ f = ∑ x f.

В нашем примере (таблица 7) x ∑ f = 10 * 6 = 60 и ∑ x f = 60.

Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы

Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на гектар пахоты составляет 20 л., а всего надо вспахать 2 млн. га., то всего потребуется 40 млн. л. горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 кг, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. кг, или 375 тыс. т.

2. Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:

∑ (x_i – x) = 0 и ∑ (x_i – x)* f= 0

Математически это свойство доказывается так:

∑ x_i

Σ (x_i – x) =Σ x_i – Σ x = Σ x_i – nx = Σ x_i – n ------ = 0

n

Σ x_i f_i

Σ (x_i – x) f = Σ x_i f_i – Σ x f_i = Σ x_i f_i – x Σ f_i = Σ x_i f_i - --------- * Σ f_i = 0

Σ f_i

Рассмотренное свойство может быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней

арифметической Σ (x_i – x) = 0 и Σ (x_i – x) f =0, то это указывает, что средняя исчислена неправильно. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.

3.С умма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, при а = х.

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а.

5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя уменьшится или увеличится в А раз.

6. Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число d, то средняя от этого не изменится.

7. Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней.

x₁ f₁ + x₂ f₂ + … + x_n f_n f_i (x₁ + x₂ + … +x_n) x₁ + x₂ + … + x_n

x = ----------------------------- = -------------------------- = -----------------------

f₁ + f₂ + … + f_n n f_i n

n равных слагаемых

8. Средняя алгебраическая суммы равна алгебраической сумме средних. Так, если y, x и z – положительные варьирующие величины и

y_{i =} x_i + z_i, то

x₁ + z₁ + x₂ + z₂ + … + x_n +z_n x₁ + x₂ +… +x_n z₁ + z₂ +… +z_n

y = ------------------------------------- = ------------------- + ---------------------- = x + z

n n n

Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими, и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а другой – 30 мин., то в среднем на одно изделие расходуется: 20+30=50 мин. Аналогично решался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.

Рассмотрим среднюю гармоническую.

Средняя гармоническая служит для обобщения обратных значений варьирующего признака. Этим она отличается от средней арифметической, обобщающей прямые значения признака. В статистике прямыми значениями признака, как и прямыми обобщающими показателями, называются такие, которые увеличиваются при увеличении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при их уменьшении. Обратными называются такие значения, которые при увеличении определяющего показателя и размеров изучаемых явлений уменьшаются, а при уменьшении их увеличиваются. Значения при этом, как и математические обратные величины, существуют одновременно и параллельно с соответствующими «прямыми» показателями того же свойства данного явления, а численные их значения взаимно обратны численным значениям «прямых показателей». Приведем несколько примеров прямых и обратных показателей по отношению к характеризуемым явлениям.

Прямые показатели (х)	Обратные показатели (1/ х)
	1. Производительность труда
Выработка в единицу времени	Затраты рабочего времени на единицу продукции
	2. Использование основных фондов
Продукция на единицу фондов	Фонды на единицу продукции
	3. Продуктивность земли
Урожайность с гектара	Землеемкость единицы продукции
	4. Оборот капитала
Затраты капитала в единицу времени	Время оборота единицы капитала
	5. Покупательная способность рубля
Количество товара на 1 руб.	Цена единицы товара в рублях
	6. Скорость движения
Путь в единицу времени	Затраты времени на единицу пути

Из приведенных примеров видно, что вопрос о том, какой из двух статистических показателей прямой и какой обратный, решается в зависимости от характеризуемых явлений. Так, при характеристике производительности труда выработка в единицу времени является прямым показателем, а затраты рабочего времени на единицу продукции – обратными, потому что первый показатель увеличивается, а второй – уменьшается с ростом производительности труда. Аналогичны и другие приведенные показатели. Иначе говоря, прямыми являются такие статистические показатели, которые прямо пропорциональны изучаемому явлению, а обратными – обратно пропорциональные ему.

В приведенных примерах, как и в других подобных, оба взаимосвязанных показателя – вторичные и получаются в результате деления значения одного признака на другой. Например, для получения прямого показателя производительности труда количество единиц произведенной продукции делится на количество единиц затраченного времени, а обратного – количества единиц затраченного времени делится на количество единиц произведенной продукции. Между прямыми и обратными варьирующими значениями

признака объективно существует такая связь: х: ------ = 1.

х

из этого следует, что в статистике, где варьирующие значения выражают определенные свойства явлений, необходимо, чтобы эти свойства нашли отражение в обобщающих средних величинах – в средней арифметической х, обобщающей прямые значения варьирующего признака, и средней гармонической х_h, обобщающей обратные значения признака, т.е. необходимо, чтобы х * х_h = 1. Из этого исходит практика статистики и планирования. Так, если при изучении производительности труда установлено, что за час в среднем производится или будет произведено на заводе, по министерству и т.д. в среднем 10 единиц продукции х, то принято считать, что для производства одной единицы продукции расходуется или будет израсходовано в среднем

0,1 ч -----, следовательно, 10 * 0,1 = 1. Точно так же, если годовая затрата

х

основных фондов х составляет ¹/₆ часть всех фондов, то время оборота единицы

1 1 1

фондов --- составляет 1: --- = 6 лет, а --- * 6 = 1. Иначе расчеты, произведенные

х 6 6

на основании одного и того же признака, но выраженного в форме прямых и обратных варьирующих величин, не будет согласованы между собой.

Такова специфическая особенность средней гармонической в статистике в отличие от средней гармонической в математике. В математике «гармоническое среднее нескольких положительных чисел а_1, а₂, …, а_n – число, равное

n»

-------------------------.

1 1 1

--- + --- + … + ---

а₁ а₂ а_п

в этой формуле величина а₁ – положительное число, а в статистике она обязательно еще и обратная величина, т.е. находится в обратной зависимости от размеров изучаемых явлений от определяющего показателя. Кроме того, обратные статистические показатели, выраженные дробными числами, могут быть представлены и в виде целых чисел, но в других единицах измерения. Например, можно затраты времени на одну деталь выразить в виде ¹/₁₂ часа или в 5 минутах. Независимо от того, как выражены варьирующие значения признака - в виде дроби или целого числа – прямые показатели обозначим х, а

обратные - ---. Следовательно, если прямой статистический показатель х = 6, то

х

1 1 1 1

обратный --- = ¹/₆, а если х = ---, то --- = --- = 6.

х 6 х 1

---