Уравнение неразрывности потока

Как уже отмечалось, при стационарном движении жидкости (или газа) скорость ее частиц не изменяется с течением времени. Для наглядности вводится понятие линии тока, которые представляют собой линии, касательные к которым в любой точке совпадают по направлению с вектором скорости в этой же точке. В случае стационарного движения линии тока неподвижны и совпадают с траекториями частиц жидкости. Кроме того, для облегчения изучения движения жидкости вводится понятие трубки тока. Эти трубки образуются так, что линия тока, проходящая через какую-либо точку, лежащую на поверхности трубки тока, целиком лежит на этой поверхности. При стационарном течении жидкости стенки трубки тока неподвижны. Жидкость, вошедшая в трубку, в дальнейшем движется все время внутри ее. Поэтому выделенную трубку можно рассматривать независимо от остальной жидкости.

Предположим, что выделенная трубка тока настолько тонка, что в каждой точке ее поперечного сечения величину скорости частиц жидкости можно было бы считать одинаковой. Пусть в сечении S₁ скорость частиц жидкости равна v₁. За промежуток времени t через сечение пройдет объем жидкости V₁= v₁ t S₁. Если плотность жидкости в этом сечении равна ₁, то через сечение проходит масса m₁ = ₁V₁ = ₁v₁ t S₁. Аналогично через сечение S₂ за время t проходит масса m₂ = ₂v₂ t S₂. При стационарном движении количество вещества, проходящее через сечения S₁ и S₂, должно быть одинаковым, т.е. m₁= m₂. Поэтому ₁v₁ t S₁ = ₂v₂ t S₂. При несжимаемости жидкости ₁= ₂, откуда следует, что v₁ S₁ = v₂ S₂, или в общем виде v S = const. Это выражение носит название уравнения неразрывности. Примером проявления свойств жидкости, описываемых этим уравнением, может служить течение рек: в узких местах скорость течения возрастает и, наоборот, в широких местах скорость течения становится меньше.