Требования к оформлению контрольных работ

Контрольная работа №4

Теория функций комплексного переменного.

Уравнения математической физики

Теория вероятности

Математическая статистика

Введение.

Общий курс высшей математики, изучаемой студентами-заочниками инженерно-технических и технологических специальностей, состоит из аналитической геометрии с элементами линейной алгебры, математического анализа, элементов теории вероятности и математической статистики.

Этот курс ставит основной своей задачей сообщить студенту сведения о высшей математике, необходимые для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, и также развить навыки логического мышления.

Учебный материал по курсу высшей математики распределен на пять первых семестров. В конце каждого семестра предусмотрен зачет или экзамен по изученным разделам математики. Соответственно этим разделам студенты выполняют контрольные работы согласно учебному плану своей специальности.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Лекции, практические, индивидуальные межсессионные занятия призваны помочь им в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ.

Работа студента-заочника над учебным материалом по математики состоит из следующих элементов: слушание лекций, участие в практических занятиях, участие в межсессионных индивидуальных занятиях, изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самоконтроля, выполнение контрольных работ (1-5 в семестр), сдача зачетов и экзаменов.

Настоящий сборник содержит все задания для выполнения контрольных работ по высшей математике а также ставит цель помочь студенту-заочнику самостоятельно работать над учебным материалом по высшей математике, в нем перечислена литература, рекомендованная для самостоятельного изучения материала, содержится программа по всему курсу, методика изучения и решения типовых вариантов контрольных работ.

Требования к оформлению контрольных работ

Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента.

При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:

1) на титульном листе указать номер варианта;

2) контрольные работы оформлять, оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) условия задач необходимо записывать полностью. Если задание имеет общую формулировку, его условие необходимо переписать, подставляя числовые значения, соответствующие номеру варианта;

4) решения заданий оформлять аккуратно, приводить достаточное количество пояснений, делать необходимые рисунки.

Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен до зачета или экзамена.

Решение типового варианта

Пример 1. Указать область, определяемую условиями , , .

Решение. Неравенство , равносильное неравенству , определяет внешность круга (включая границу) радиусом 1 с центром в точке . Неравенство или определяет полосу, заключенную между прямыми и . Неравенство или определяет полосу, заключенную между прямыми и .

Пример 2. Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной части .

.

Решение. Для определения мнимой части воспользуемся условиями Коши-Римана. Так как , то согласно первому условию . Отсюда, интегрируя по y, находим:

Для определения функции воспользуемся вторым условием Коши-Римана. Так как , а , то . Отсюда и , где . Поэтому . Находим функцию :

Пример 3. Решить задачу Коши

,

.

Решение. По условию , поэтому, пользуясь формулой , получим

Пример 4. Дан тонкий однородный стержень длиной , изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент .

Решение. Математически данная задача сводится к решению следующей смешанной задачи для одномерного однородного уравнения теплопроводности:

,

,

,

решение которой дается формулой , где при . Вычислим :

,

при и . Если и , получим

,

.

Замечание. К оэффициенты можно определить из тождества

.

Отсюда в силу линейной независимости системы функций получим , , для .

Пример 5. Найти решение уравнения Лапласа в области, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусов и с центрами в начале координат, удовлетворяющее граничным условиям .

Решение. Запишем граничные условия в полярных координатах: первое не изменится, второе примет вид

.

Решение задачи ищем в виде . Удовлетворим граничным условиям:

,

.

Отсюда

для ;

для ,

для .

З этих двух серий соотношений (линейной алгебраической системы уравнений) определяем коэффициенты:

а) ,

б) ,

в) все остальные коэффициенты равны нулю.

Итак,

,

или в декартовых координатах , ,

.

Задача 5.1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных (событие ).

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов: .

Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами. Остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Таким образом, число благоприятствующих исходов равно .

Следовательно, искомая вероятность равна

.