Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла L, в котором сходятся стержни 1, 2, 3

1. Рассмотрим равновесие узла L, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции N ₁, N ₂, N ₃ стержней, которые направим по стержням от угла, считая стержни растянутыми (см. рисунок 3 б). Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

SFK x=0, P·cos(a1)+N2·sin(y)+N3·sin(f)=0;	(1)
SFK y=0, P·cos(b1)–N1–N2·cos(y)=0;	(2)
SFK z=0, P·cos(g1)–N3·cos(f)=0.	(3)

Решим систему уравнений (1), (2), (3) в программе MathCAD. Для этого определим единицы измерения, используемые в задаче (рисунок 4 а). Символ ° (градус) вводим путем удерживания клавиши <Alt> и на цифровой клавиатуре наберем <0176>, символ:= (присвоения) - клавишей <:>. Ниже определим исходные данные (рисунок 4 б) с учетом единиц измерения.

а – единицы измерения; б – исходные данные;

в – начальные значения; г – решение; д – результат

Рисунок 4 – Фрагмент решения задачи в системе MathCAD

Следует отметить, что греческие буквы вводятся с использованием панели Греческий алфавит, вызываемой через пункт меню Вид / Панели инструментов/ Греческий алфавит. Нижний индекс вводится через клавишу < • > (точка), единицы измерения вводятся через символ • (умножить) клавишей <*>.

Далее зададим начальные значения, от которых будет происходить поиск решения (рисунок 4в). Начало системы уравнений обозначается ключевым словом Given, а заканчивается функцией Find () (рисунок 4г). Левая и правая части уравнений разделяются символом = (булево равенство), который вводится комбинацией клавиш <Ctrl>+<=>.

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим (рисунок 4д): N ₁ = 349 Н, N ₂ = –345 Н, N ₃ = 141 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила Q и реакции N ¢₂, N ₄, N ₅, N ₆ стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция N ¢₂ направлена противоположно N ₂, численно же N ¢₂ = N ₂. Составим уравнения равновесия:

S FК x =0, Q ·cos(a 2)– N 2·sin(y)– N 4– N 5·sin(d)·sin(y)=0;	(4)
S FК y =0, Q ·cos(b 2)+ N 2·cos(y)+ N 5·sin(d)·cos(y)=0;	(5)
S FК z =0, Q ·cos(g 2)– N 5·cos(d)– N 6=0.	(6)

Решим систему уравнений (4), (5), (6) в MathCAD (рисунок 5) и учитывая, что N ¢₂ = N ₂ = –345 Н, найдем, чему равны N ₄, N ₅, N ₆.

Рисунок 5 – Решение системы уравнений с неизвестными N ₄, N ₅, N ₆ в MathCAD

Ответ: N ₁ = 349 Н, N ₂ = –345 Н, N ₃ = 141 Н, N ₄ = 50 Н, N ₅ = 329 Н, N ₆ = –66 Н. 3наки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные – растянуты.

ЗАДАЧА 2. ЖЕСТКАЯ РАМА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЛОСКОЙ

СИСТЕМЫ СИЛ

Жесткая рама (рисунок 6, таблица 2) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ ¢, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4

Рисунок 6 – Варианты эскизов жесткой рамы

Продолжение рисунка 6

Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

Таблица 2 – Варианты точек приложения и значения сил

Сила
F 1 = 10 H	F 2 = 20 H	F 3 = 30 H	F 4 = 40 H
№ условия	точка приложения	a 1, °	точка приложения	a 2, °	точка приложения	a 3, °	точка приложения	a 4, °
	–	–	D		E		–	–
	К		–	–	–	–	H
	–	–	H		K		–	–
	D		–	–	–	–	E
	–	–	K		E		–	–
	H		–	–	D		–	–
	–	–	E		–	–	K
	D		–	–	H		–	–
	–	–	H		–	–	D
	E		–	–	–	–	K

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н·м и две силы, для которых направления, значения и точки приложения указаны в таблице 2 (например, в условиях варианта 2 на раму действуют сила F ₁ = 10 H под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F ₄ = 40 H под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять ℓ = 0,5 м.

Указания. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F ¢ и F ¢¢, для которых плечи легко вычисляются, в частности, на составляющие, параллельные координатным осям, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда: M _А (F)=M _А (F ¢ )+M _А (F ¢¢ ).

Пример

Условие задачи. Жесткая пластина АВСD (рисунок 7) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке 7.

Рисунок 7 – Расчетная схема

F = 25 кН, a = 60 °, P = 18 кН, g = 75 °, M = 50 кНм, b = 30 °, a = 0,5 м.

Определитьреакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.