double arrow

Пример построения знания в основаниях математики


Математика считалась некогда наукой о числах. Современность беспощадно изломала это представление. Посмотрим, на чем основывалась и с чего начиналась эта наука.

Математика начиналась с «Начал». Евклид создал «Начала», но дал ли он достаточные основания? Одно можно утверждать определенно: достаточные основания для противоречий, то есть для дальнейшего развития математики, дал.

Это касается, в первую очередь, пресловутого пятого постулата, послужившего началом для неевклидовой геометрии.

Таким образом, постулаты Евклида заранее заключали в себе отрицание, то есть были противоречивыми, то есть истинными и неистинными одновременно. Как мы уже отмечали, постулируемость это допущение истинности. Мы можем утверждать, что истинность носит исторически ограниченный характер, то есть существует некая временная окрестность, внутри которой возможно допущение истинности.

Однако, представление об истине как о допущении это, скорее, задача настоящей работы, нежели устоявшееся мнение. В новое время родилось и получило распространение мнение об абсолютности и универсальности истины, мнение о разуме, который может, а значит должен достичь эту абсолютную истину. Кроме того, предполагалось переделать бытие в соответствии с последними откровениями. Математике, как цитадели разума, была уготована роль проводника рационалистической экспансии. И первым, кто заявил о математических претензиях на универсализм, был Лейбниц.




«Универсальная характеристика», «исчисление рассуждений», «универсальная наука» - вот терминологическое обозначение круга лейбницевских проблем. Но могла ли математика выйти за собственные пределы, оставаясь при этом математикой? В рассуждениях Лейбница была изрядная доля логического утопизма. Стремление к идеалу, вера во всесильность и безграничность разума - вот родимые /а в настоящее время - старческие/ пятна христианской эпохи.

Нас интересует «математика разума», модель знания, строительство которой начал Лейбниц.

Исходные положения Лейбниц называет «абсолютно первые истины»: «Среди истин разума абсолютно первыми являются тождественные истины, а среди истин факта, - те, из которых заранее могли бы быть доказаны все опыты[10].

Абсолютно первые истины не просто тождественные, но и реально существующие, то есть истинные. «Всё возможное требует существования»[11].

Звучит очень по-гегелевски,

«Первыми же для нас истинами являются опытные. Всякая истина, которая является не абсолютно первой, может быть доказана из абсолютно первых»[12]

Нас интересуют не просто абсолютно первые истины, но те из них, которые приводят к парадоксу, то есть в конечном итоге к не-истине. «В процессе доказательства я пользуюсь двумя принципами. Один из них - ложно то, что влечет противоречие»[13].



Противоположно, то есть ложно. Ложно, значит, лишено существования. Но, говоря «то есть ложно», мы утверждаем существование лжи /небытия/. Бытие и небытие суть одно и то же. Истина это не бытие и не ничто, она состоит в том, что бытие не переходит, а перешло в ничто и ничто не переходит, а перешло в бытие[14]... Но, кажется, еще не родился Гегель.

Для Лейбница такие головокружительные пассажи просто невозможны, так как ложь считалась злом, дьявольщиной с которой следует вести бескомпромиссную борьбу. А для «универсальной науки или философского исчисления» ложь - это ошибка в рассуждениях, которая при точном соблюдении правил невозможна:

«...всякий паралогизм станет ничем иным как ошибкой счета, а софизм, выраженный в этом новом способе писания, будет ничем иным как солецизмом или варваризмом, легко опровергаемым исходя из самих законов этой философской грамматики. В результате, когда возникали бы споры, нужда дискуссии между двумя философами была бы не большей, чем между двумя вычислителями. Ибо достаточно им было бы взять в руки перья, сесть за свои счетные доски и сказать друг другу /как бы дружески приглашая/: давайте посчитаем»[15]

Картина нарисованная Лейбницем поражает своим рационалистическим оптимизмом и соответствием технократической реальности наших дней. Но, кажется, живая природа уже взбунтовалась против «счетных» и «чистых досок».



Лейбниц был не только математиком, но и философом, но может быть, проблема заключается в том, чтобы быть не математиком и не философом, но и тем и другим и еще третьим - логиком. Выйти за пределы математики, изменить представления о ней, нарушить «нерушимые законы». Как однажды указывал К.Гёдель: «П. Бернайс неоднократно указывал, что из-за недоказуемости противоречивости системы с помощью лишь тех средств доказательства, которые содержит сама система, необходимо выйти за рамки математики финитной в гильбертовом смысле, чтобы доказать непротиворечивость классической математики и даже для того, чтобы доказать непротиворечивость классической теории чисел»[16]

Мы обосновываем непротиворечивость/противоречивость математики вообще и для этого намерены прибегнуть к изменению привычной трактовки математики:

«Из всех критических работ по основаниям математики, в конечном счете, вытекает, что привычная трактовка математики как некой «науки о числах» только способна вводить в заблуждение и никоим образом не соответствует подлинной сути дела. Ведь стало совершенно очевидно, что математика есть попросту наука, изучающая получение логических следствий из некоторых заданных аксиом, или постулатов»[17]

Но и это представление о математике, ставшее «привычным» к концу XX столетия, «никоим образом» не соответствует сути дела».

«…Математика оказалась даже еще значительно более абстрактной и формальной наукой, чем это было принято считать: более абстрактной поскольку математические предложения в принципе могут быть истолкованы скорее как утверждения о чем угодно, а не как утверждения относящиеся к некоторым фиксированным множествам предметов; более формальной - поскольку правильность математических доказательств гарантируется чисто формальной структурой некоторых предложений, а отнюдь не содержанием этих предложений»[18]. Или как сказал Рассел: «Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим»[19].

«...подлинным предметом чистой математики является вывод теорем из постулированных допущений»[20].

«...единственный вопрос, встающий перед чистым математиком... состоит вовсе не в том, истинны ли принятые им постулаты и полученные из постулатов следствия, а в том, действительно ли полученные им заключения являются логически необходимыми следствиями из начальных допущений»[21].

Исходные посылки не только не нуждаются в верификации, но даже при желании их невозможно проверить на истинность, так как истинность мы задаем по очевидности, то есть интуитивно, но «Интуиция - не слишком-то надежный руководитель; во всяком случае, ее нельзя считать удовлетворительным критерием для оценки истинности и плодотворности научных открытий»[22].

Этой борьбой, точнее игрой с истиной ознаменован конец XIX, начало XX столетия. Истину пытаются отбросить, не брать во внимание. Пытаются замолчать оппозиций истина-ложь, но вопрос состоит в том, чтобы снять это противоречие.

В свете этого, Давид Гильберт решил отыскать новые основания: мы не знаем истинно ли то, что мы говорим и из чего исходим, но мы можем быть, по крайней мере, непротиворечивыми.

Его целью было построение «абсолютных» доказательств непротиворечивости различных систем...»[23]

У Гильберта собственный терминологический набор: «аксиоматический метод», «формальная система», «финитизм», «непротиворечивость», «арифметизация».

«Когда речь идет о том, чтобы исследовать основания какой-нибудь науки, то следует установить систему аксиом, содержащих точное и полное описание тех соотношений, которые существуют между элементарными понятиями этой науки. Эти аксиомы являются одновременно определениями этих элементарных понятии»[24].

Задача заключается в «...доказательстве того, что система аксиом непротиворечива, т.е. что на основании этих аксиом никогда нельзя с помощью конечного числа логических умозаключений получить результаты, противоречащие друг другу»[25]

Итак, первый шаг заключается в определении системы аксиом, которые задают соотношения и являются определениями элементарных понятий. Второй шаг - формализация логического вывода, заключающаяся в определении системы правил, которая была бы полностью обозримой.

Как мы отмечали /§2/, логический вывод может быть опущен.

Третий шаг заключается в демонстрации непротиворечивости /т.е. невыводимости двух взаимоисключающих положений одновременно/ системы аксиом с помощью правил вывода, так как «Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует»[26].

Таким образом, защищая непротиворечивость, мы, по мнению Гильберта, защищаем само существование /бытие/.

Но не классический ли пример circulus vitiosus демонстрирует перед нами аксиоматический метод? В основу положены аксиомы, непротиворечивость /истинность/ которых еще только предстоит доказать, причем с помощью самих же аксиом.

«Простую систему аксиом» Гильберт в основаниях геометрии разбивает на пять групп[27], но, используя более высокую степень обобщения, мы позволим себе выделить всего две группы: во-первых, аксиомы расположения и отношения /аксиомы соединения, порядка, конгруэнтности, о параллельных/. Во-вторых, аксиомы непрерывности. /Таким образом, совокупность аксиом можно рассматривать как топологический объект/.

Тождество - это отношение числа к самому себе, обладающее, как мы выясним ниже, свойствами непрерывности.

«Гильберт уловил саму суть проблемы, положив в основу своих попыток построения «абсолютных» доказательств непротиворечивости различие между формальным исчислением и его описанием». Но формальное исчисление должно само описать себя. Так же как аксиомы должны сами повествовать о себе, но будет ли это разговор о непротиворечивости или о недоказуемости?

«В то время Гильберт был признанным лидером математического мира. Но один никому не известный молодой человек Курт Гёдель /инженер по образованию/ пришел к выводу, что Гильберт не прав.

В 1930 г. он направил в печать работу, которая превратила программу Гильберта в руины»[28]. На. вопрос поставленный Гильбертом, Гёдель дал отрицательный ответ. Иллюзия непротиворечивости рассеялась.


Теорема Гёделя:[29]

- существует арифметическая формула G;

- формула G гласит сама о себе, что она недоказуема;

- формула G доказуема тогда и только тогда, когда доказуемо ее формальное отрицание -G;

Значит, если это исчисление непротиворечиво, то, как G, так и -G невыводимы из аксиом арифметики. Следовательно, формально:

- формула G истинна, несмотря на недоказуемость.

Это «следовательно» - типичная черта «утопического рационализма», который, потеряв основы в непротиворечивости цепляется. за формальную истинность.

«Истинно не смотря на недоказуемость», то есть credo, quia absurdum. Вера в истинность вряд ли может соседствовать с научным методом отыскания истины.

Что заставляет рационалистов даже недоказанную истину принимать за истину формальную? Не то ли что истина считается залогом существования /и косвенно воплощением добра/?

Выйти за пределы квантора существования, то есть за пределы математики как «замкнутого знания» - не в этом ли задача?

Выводы из Теоремы Гёделя:[30]

- решение задачи отыскания для каждой дедуктивной системы абсолютного доказательства непротиворечивости если не невозможно, то маловероятно;

- существует бесконечное множество предложений, которые истинны, и которые нельзя формально вывести из произвольной данной системы аксиом;

- аксиоматический подход к арифметике не в состоянии охватить область истинности арифметических суждений;

- атематические доказательства не сводятся к аксиоматическому методу;

- понятию убедительного математического доказательства нельзя придать раз и навсегда очерченные логические формы.

«Если даже отвлечься от трудностей, связанных с проблемой установления непротиворечивости, то и тогда - уже в силу констатированной нами дедуктивной незавершенности любого обладающего достаточными изобретательными возможностями и достаточно четко очерченного дедуктивного формализма, - идея характеризации математики как дедуктивного формализма время от времени выдвигавшаяся различными логистическими системами представляется бесперспективной.

«Это приводит нас к границе применения финитных методов и одновременно с этим к проблеме разумного ограничения методичес­кой установки теории доказательств[31].

Отрицательное единство задачи Гильберта и теоремы Гёделя, мы будем считать парадоксом, причем строго доказанным парадоксом. Парадокс Гильберта-Гёделя можно сформулировать как единство двух противоречащих друг другу предложения: существуют непротиворечивые системы знания; не существует непротиворечивых систем знания.

Противоречие оказалось расширенным до масштабов знания. Таким образом, множество парадоксов оказалось существенно дополнено.

Множество парадоксов можно разделить на три группы:

- первая - парадоксы бесконечности, непрерывности /парадокс Зенона, «куча», «лысый»/;

- вторая - парадоксы отношения /»деревенский парикмахер», парадокс Рассела/;

- третья - парадокс истины.

Не трудно заметить, что парадоксы разделились на те же группы по своим свойствам, что и аксиомы. Можно предположить, что и аксиомы и парадоксы принадлежат к одному и тому же «смысловому полю». Тем самым, «порочный круг» превратился в «круг истины».

Определять /задавать тождество/ значит противоречить. Противоречить, значит существовать и несуществовать одновременно. Истина двусмысленна, как жало змеи. Бесконечность /непрерывность/ залог движения /развития/ и противоречия.

Парадокс Гильберта-Гёделя глобализированный до размеров математического знания, позволяет сделать несколько выводов, которые формулируют глобальное противоречие в науке о мышлении:

Королларий 1. Исходная посылка не может, строго говоря, быть ни истинной, ни ложной «во избежание» противоречия. Истинность это допущение. Истина это декларация разума, принятая на веру.

Если существует абсолютная истина, тогда истинным будет высказывание «Я лгу».

Исходная посылка это определение. Определяя, мы задаем противоречие. Утверждая противоречие, мы задаем существование. В основе должен стоять не вопрос об истинности, а вопрос о существовании.

В этой связи, поднимается вопрос об истинности элементарного тождества А=А.

Королларий 2. Нельзя построить замкнутую систему знаний.

Замкнутой системой знания мы будем считать теорию, в которой все положения этой теории доказуемы средствами самой этой теории.

Замкнутой системой будет являться элементарное тождество.

Королларий 3. Знание непрерывно и бесконечно.

Королларий 4. Математика, как система знаний должна быть преодолена.

Основания математики находятся за пределами самой математики.

Как разрешить возникшее противоречие?

История математики знает один пример разрешения противоречия, заключенного в парадоксе. Противоречие, заключенное в парадоксе Зенона, разрешил Лейбниц, создав исчисление бесконечно малых /дифферинциальное исчисление/. А вот как обозначил это преодоление Гильберт: «Подобно тому, как при неограниченном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение[32].

Если мы встанем на такую точку зрения, да еще вооружимся Фундаментальным понятием дифференциального исчисления - понятием предела, то от парадокса ничего не останется.

Понятие предел вводится с помощью понятия окрестность. Окрестность соединяет в себе в снятом виде свойства тождества и непрерывности, парадокса и дискретности.







Сейчас читают про: