Определение окрестности

Наличие определения окрестности - надежное свидетельство того, что здесь имеют дело с непрерывностью.

В топологии принимается одно из обобщающих определений окрестности: Окрестностью точки а в С называется любое множество содержащее открытый шар с центром в а [33].

Данное определение не является достаточно строгим. Воспользуемся определением, принятым в дифференциальном и интегральном исчислениях.

Определение окрестности. Пусть а - любое действительное число. Открытая окрестность точки |a| в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида |а-έ; а+έ| содержащий точку х=а, иными словами, множество точек всех |х| удовлетворяющих условию:

|x-a|< έ, где έ>0 /4.1/[34]

Окрестность точки х-a, есть любое множество содержащее, некоторую έ-окрестность этой точки.

По определению х=a, тогда выражение /4.1/ можно записать следующим образом:

|a-a|< έ /4.2/

перепишем это выражение в виде:

|a|<|a+ έ| /4.3/

но если |a|=|a| то:

|a|>|a+έ| /4.4/

Решая систему неравенств /4.3/ и /4.4/ получаем:

|a|=|a+έ| /4.5/

Получено противоречие:

(|a|=|a|)→(|a|-|a±έ|)

(|a|-|a±έ|)→(|a|=|a|) /4.6/

Таким образом

(|a|=|a|)↔(|a|≠|a|) /4.7/

т.е.

(|a|=|a|) V (|a|≠|a|) /4.8/[35]

Парадокс /4.8/ можно сформулировать так: число равно самому себе тогда и только тогда, когда оно не равно самому себе.

Противоречие можно устранить, опустив знак строгого равенства. Число равно самому себе в некоторой έ-окрестности, то есть в этом случае, число заменяется оппозицией «точка-окрестность», которая является самоопределением числа.

Таким образом, не существует абсолютно точного равенства. Даже элементарное тождество не строго.

Формула /4.8/ «уничтожает» не число, а строгость. Она утверждает то, что число как всякое понятие возможно только как противоречие.