2015-04-30
3946
Равновесие по Нэшу — это ситуация, когда ни у одного игрока нет стимулов изменять свою стратегию при данной стратегии другого игрока (другой фирмы), позволяющая игрокам достичь компромиссного решения.
Определение равновесия по Нэшу и его существование определяется следующим образом.
Пусть (S, f) — это игра, в которой S — множество стратегий, f — множество выигрышей. Когда каждый из игроков i ∈ {1,..., n} выбирает стратегию xi &isin S, где x = (x1,..., xn), тогда игрок i получает выигрыш fi(x). Выигрыш зависит от стратегии, выбранной всеми игроками. Стратегия x* ∈ S является равновесием по Нэшу, если никакое отклонение от нее каким-то одним игроком не приносит ему прибыль, то есть, для всех i выполняется следующее неравенство:
fi(x*) ≥ fi(xi, x*-i)
Например, игра «дилемма заключенного» имеет одно равновесие по Нэшу — ситуацию, когда оба заключенных предают друг друга.
Проще всего определить равновесие по Нэшу можно по платежной матрице, особенно в случаях, когда в игре участвуют два игрока, имеющие в арсенале более двух стратегий. Так как в этом случае формальный анализ будет достаточно сложным, применяется мнемоническое правило, которое заключается в следующем: ячейка платежной матрицы представляет собой равновесие по Нэшу, если первое число, стоящее в ней, является максимальным среди всех значений, представленных в столбцах, а второе число, стоящее в ячейке — максимальное число среди всех строк.
|
|
|
Например, применим это правило для матрицы 3x3:
| A | B | C | |
| A | 0, 0 | 25, 40 | 5, 10 |
| B | 40, 25 | 0, 0 | 5, 15 |
| C | 10, 5 | 15, 5 | 10, 10 |
Точки равновесия по Нэшу: (B,A), (A,B) и (C,C). Indeed, for cell (B,A), так как 40 — максимальное значение в первом столбце, 25 максимальное значение во втором ряду. Для ячейки (A,B) 25 — это максимальное значение во втором столбце, 40 — максимальное значение во втором ряду. То же самое и для ячейки (C,C).
Рассмотрим пример игры в загрязнения (окружающей среды). Здесь объектом нашего внимания станет такой вид побочных эффектов производства, как загрязнение. Если бы фирмы никогда и никого не спрашивали о том, как им поступить, любая из них скорее предпочла бы создавать загрязнения, чем устанавливать дорогостоящие очистители. Если же какая-нибудь фирма решилась бы уменьшить вредные выбросы, то издержки, а, следовательно, и цены на ее продукцию, возросли бы, а спрос бы упал. Вполне возможно, эта фирма просто обанкротилась бы. Живущие в жестоком мире естественного отбора, фирмы скорее предпочтут оставаться в условиях равновесия по Нэшу (ячейка D), при котором не нужно расходовать средства на очистные сооружения и технологии. Ни одной фирме не удастся повысить прибыль, уменьшая загрязнение.
|
|
|
| Фирма 1 | ||
| Фирма 2 | Низкий уровень загрязнения | Высокий уровень загрязнения |
| Низкий уровень загрязнения | А 100,100 | В -30,120 |
| Высокий уровень загрязнения | С 120,-30 | D 100,100 |
Таблица — Платежная матрица игры в загрязнение окружающей среды.
Вступив в экономическую игру, каждая неконтролируемая государством и максимизирующая прибыль сталелитейная фирма будет производить загрязнения воды и воздуха. Если какая-либо фирма попытается очищать свои выбросы, то тем самым она будет вынуждена повысить цены и потерпеть убытки. Некооперативное поведение установит равновесие по Нэшу в условиях высоких выбросов. Правительство может предпринять меры с тем, чтобы равновесие переместилось в ячейку А. В этом положении загрязнение будет незначительным, прибыли же останутся теми же.
Игры загрязнения — один из случаев того, как механизм действия «невидимой руки» не срабатывает. Это ситуация, когда равновесие по Нэшу неэффективно. Иногда подобные неконтролируемые игры становятся угрожающими, и здесь может вмешаться правительство. Установив систему штрафов и квот на выбросы, правительство может побудить фирмы выбрать исход А, соответствующий низкому уровню загрязнения. Фирмы зарабатывают ровно столько же, сколько и прежде, при больших выбросах, мир же становится несколько чище.
