Задания контрольной работы № 4

Задание 1. Найти производную скалярного поля u = u (x, y,z) в точке М ₁ по направлению градиента скалярного поля v = v (x, y, z), вычисленного в точке М ₂. Выяснить, возрастает или убывает скалярное поле в этой точке по данному направлению.

Задание приведено в таблице 1.

Таблица1 – Данные задания 1

В-т	u = u (x, y, z)	М 1(x 1, y 1, z 1 )	v = v (x, y, z)	М 2(x 2, y 2, z 2)
		(1, – 1, 0)		(1, – 1, 1)
		(2; 1; 1)		(2, 1, 2)
		(1, 5, – 2)		(1, – 2, 1)
		(0, 1, 1)		(3, 2, 1)
		(– 2, 1, – 1)		(– 1, – 1, 3)
		(1, 3, 2)		(2, 1, – 1)
		(, , 3)		(– 2, 1, 1)
		(1, 1, 2)		(– 1, 1, 1)
		(1, – 3, 4)		(– 1, – 2, 1)
		(1, 1, 0)		(1, 1, – 2)
		(4, 1, – 2)		(2, 2, 1)
		(3, – 2, 1)		(– 2, 2, 1)
		(1, 2, – 1)		(– 1, 2, 1)
		(1, – 1, 2)		(– 1, 1, 2)
		(– 4, 3, – 1)		(– 1, 2, 1)
		(1, – 3, 4)		(0, – 1, 2)
		(2, 1, 1)		(2, 2, 2)
		(1, – 1, 0)		(1, – 1, 1)

Продолжение таблицы 1

В-т	u = u (x, y, z)	М 1(x 1, y 1, z 1 )	v = v (x, y, z)	М 2(x 2, y 2, z 2)
		(2, 4, 4)		(–1, – 1, – 1)
		(1, 1, 1)		(1, 1, – 1)
		(– 2, , 1)		(1, 1, 2)
		(2, 2, 4)		(– 2, – 1, 1)
		(2, 1, – 1)		(1, – 1, – 1)
		(3, 4, 1)		(1, 1, – 1)
		(1, 1, 0)		(– 1, – 1, 2)

Задание 2. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке М ₀(х ₀, у ₀, z ₀).

Задание приведено в таблице 2.

Таблица 2 – Данные задания 2

В-т		В-т
	М 0(0, 1, – 2)		М 0(1, – 2, 0)
	М 0(3, 0, 1)		М 0(– 1, 0, 3)
	М 0(2, 1, – 1)		М 0(– 2, 1, 1)
	М 0(0, 1, 1)		М 0(0, – 2, 1)
	М 0(0, 1, 2)		М 0(– 1, 2, 1)
	М 0(0, – 1, 1)		М 0(2, 1, 0)
	М 0(4, 0, 1)		М 0(– 3, 0, 2)
	М 0(1, 0, 4)		М 0(0, – 1, 4)

Продолжение таблицы 2

В-т		В-т
	М 0(2, 2, 2)		М 0(4, 1, – 3)
	М 0(– 4, 1, 0)		М 0(3, 0, 1)
	М 0(1, 3, 0)		М 0(1, – 2, 1)
	М 0(1, 1, – 2)		М 0(2, 2, 1)
	М 0(– 2, 2, 1)

Задание 3. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной плоскостью (р) и координатными плоскостями х = 0, y = 0, z = 0.

Задание приведено в таблице 3.

Таблица 3 – Данные задания 3

В-т		(р)
		2 х + у + 2 z = 2
		3 х + 2 у + z = 6
		2 х + 2 у + z = 2
		х + 3 у + 2 z = 6
		х + 2 у + 2 z = 2
		2 х + у + 3 z = 6
		х + 2 у + z = 2
		2 х + 2 у + z = 4
		х + у + 2 z = 2
		х + у + 2 z = 2

Продолжение таблицы 3

В-т		(р)
		х + 2 у + 2 z = 4
		х – у + z = 2
		2 х + 3 у + z = 6
		3 х – 2 у + 2 z = 6
		х – 2 у + 2 z = 2
		х + 4 у + 2 z = 8
		2 х + у + z = 4
		3 х + 2 у + 2 z = 6
		х + 2 у + 2 z = 2
		2 х + у + z = 2
		х + 2 у + z = 2
		2 х – у – 2 z = –2
		х – у + z = 2
		2 х – 3 у + z = 6
		х + 2 у + z = 2

Задание 4. Показать, что функция f (z) дифференцируемая всюду на комплексной плоскости и записать ее производную.

Задание приведено в таблице 4.

Таблица 4 – Функции f (z)

В-т	f (z)	В-т	f (z)
	f (z) = 3 + i (z 3 – 1)		f (z) = 3 i (z 2 + 2 z)

Продолжение таблицы 4

В-т	f (z)	В-т	f (z)
	f (z) = z 2 + z + 2 i		f (z) = 2 z 3 + 6 iz + i
			f (z) = z 3 – iz + 2
	f (z) = iz (3 z – 5) + 2

Задание 5. Найти изображение F (p) по заданному оригиналу f (t).

Задание приведено в таблице 5.

Таблица 5 – Оригиналы f (t)

В-т	f (t)	В-т	f (t)

Продолжение таблицы 5

В-т	f (t)	В-т	f (t)

Задание 6. Операционным методом найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Задание приведено в таблице 6.

Таблица 6 – Данные задания 6

В-т		В-т

Продолжение таблицы 6

В-т		В-т

Задание 7. Методом Д’Aламбера найти уравнение u = u (x, t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

если в начальный момент t ₀ = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями (начальными условиями)

u(x, 0) = f (x),

.

Задание приведено в таблице 7

Таблица 7 – Начальные условия

В-т		В-т

Продолжение таблицы 7

В-т		В-т

Задание 8. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

max(min) Z = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂,

x ₁ ≥ 0, x ₂ ≥ 0.

Задание приведено в таблице8.

Таблица 8 – Данные задания 8

В-т		В-т		В-т
	Z = 2 x 1 + x 2,		Z = x 1 + 5 x 2,		Z = x 1 + 5 x 2,
	Z = 2 x 1 + 3 x 2,		Z = 4 x 1 + 3 x 2,		Z = 5 x 1 + x 2,
	Z = 4 x 1 + x 2,		Z = x 1 + 4 x 2,		Z = x 1 + x 2,

Продолжение таблицы 8

В-т		В-т		В-т
	Z = 2 x 1 + 3 x 2,		Z = 2 x 1 + 3 x 2,		Z = x 1 + 2 x 2,
	Z = 2 x 1 + 3 x 2,		Z = 3 x 1 + x 2,		Z = 2 x 1 + x 2,
	Z = 3 x 1 + x 2,		Z = 3 x 1 + 2 x 2,		Z = 2 x 1 + 3 x 2,
	Z = x 1 + 2 x 2,		Z = 3 x 1 + 4 x 2,		Z = 3 x 1 + 2 x 2,
	Z = 2 x 1 + x 2,		Z = 2 x 1 + x 2,		Z = 3 x 1 + x 2,
	Z = x 1 + 2 x 2,