И непрерывной правой частью

1 2 3 4 5 6 7

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (1)

f (t) – непрерывная функция действительного переменного.

Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

(2)

где – заданные числа (задача Коши).

Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) F (p), y (t) Y (p).

Для решения поставленной задачи (1), (2) перейдём от уравнения (1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).

Применяя два раза теорему о дифференцировании оригинала, получим:

у ′(t) pY (p) – y ₀,

y ″(t) p ² Y (p) – py ₀ – у ₀′

Далее, применяя теорему линейности, перейдём от уравнения (1) к операторному уравнению:

. (3)

Из уравнения (3) выразим .Искомое частное решение y (t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда

у ′ pY (p) – y (0) = pY (p),

y ″ p ² Y (p) – py (0) – у ′(0) = p ² Y (p),

2 t – 2 = .

Операторное уравнение будет иметь вид

откуда

Дробь представим в виде суммы простых дробей и найдем коэффициенты этого представления:

Из системы:

Откуда .

Тогда

Используя таблицы соответствия, найдём: Y (p) t – e^t sin t.

Таким образом, искомое частное решение

y (t) = t – e^t sin t.

Ответ: y (t) = t – e^t sin t.

Задание 7. Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

при начальных условиях

u (x, 0) = f (x),

Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u (x, t) определяется по формуле

которая называется формулой Д’Aламбера или решением Д’Aламбера.

Пример. Методом Д’Aламбера найти уравнение u = u (x, t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

если в начальный момент t ₀ = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями

u(x, 0) = f (x), .

Здесь начальная форма струны f (x) = e^x, а начальная скорость ее F (x) = cos2 x.

Решение. Искомое решение u (x, t) найдем по формуле Д’Aламбера:

Так как f (x) = e^x, F (x) = cos2 x, то

и (х, t) = = =

Ответ: и (х, t) = .

Задание 8. Рассмотрим задачу линейного программирования:

max(min) Z = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂,

x ₁ ≥ 0, x ₂ ≥ 0.

Строим область допустимых решений Ω, которая является пересечением полуплоскостей, определяемых неравенствами системы ограничений вида a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ ≤ b_i, i = 1, …, m. Известно, что прямая a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ = b_i делит плоскость на две полуплоскости, причем для любой точки (x ₁; x ₂) одной полуплоскости a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ ≤ b_i, а для любой точки (x ₁; x ₂) другой полуплоскости a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ ≥ b_i. Другими словами, решением неравенства

a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ ≤ b_i

является одна из полуплоскостей, ограниченная прямой a_i ₁ x ₁ + a_i ₂ x ₂ = b_i (и является выпуклым множеством).

Чтобы уточнить, какая полуплоскость является решением конкретного неравенства, достаточно подставить в него координаты любой точки одной полуплоскости: если числовое неравенство верно, то эта полуплоскость является решением неравенства, если нет – то другая. На практике удобно в качестве такой точки выбирать начало координат х = 0, у = 0. Искомая область Ω является пересечением построенных выпуклых множеств и также является выпуклым множеством.

Вектор = (с ₁; с ₂), где с ₁ = , с ₂ = , называется вектором градиентом целевой функции Z = Z (х ₁; х ₂). Он показывает направление наискорейшего возрастания функции. Вектор – (антиградиент) показывает направление наискорейшего убывания функции.

Вектор = (с ₁; с ₂) перпендикулярен к прямым Z = const, которые называются линиями уровня целевой функции.

Порядок графического решения задачи линейного программирования (ЗЛП):

1) с учетом условий ограничений строим область допустимых решений Ω;

2) строим вектор = (с ₁; с ₂) наискорейшего возрастания целевой функции;

3) проводим произвольную линию Z = Z ₀ (проще провести линию нулевого уровня Z = 0) перпендикулярно вектору ;

4) при нахождении max Z (х ₁; х ₂) перемещаем линию уровня Z = Z ₀ в направлении вектора так, чтобы она касалась области Ω в ее крайнем положении (крайней точке). При нахождении min Z (х ₁; х ₂) поступаем аналогично, перемещая линию уровня в антиградиентном направлении;

5) определяем оптимальные планы

Х ₁^* = ( ^*, ^*) и Х ₂^* = ( ^*, ^*)

и экстремальные значения целевой функции

Z _min = Z (Х ₁^*) и Z _max = Z (Х ₂^*).

Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

max(min) Z = 3 x ₁ + 2 x ₂,

x ₁ ≥ 0, x ₂ ≥ 0.

Решение. Построим область допустимых решений Ω. Из теории следует, что это будет выпуклое множество. Для этого запишем уравнения границ области допустимых решений. Заменив в ограничениях знак неравенства знаком равенства

x ₁ + 2 x ₂, = 14, (I)

x ₁ – 4 x ₂, = – 22, (II)

x ₁ – x ₂, = 2, (III)

построим эти прямые.

Определим полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам ограничениям. Пересечение этих полуплоскостей образует треугольник АВС, который и является областью допустимых решений Ω. Покажем ее на рисунке 2 штриховкой.

Рисунок 2 – Область допустимых решений Ω

Строим вектор = (3; 2) – градиент целевой функции Z (х ₁; х ₂).

Далее проводим линию нулевого уровня 3 x ₁ + 2 x ₂, = 0, перпендикулярную вектору = (3; 2).

Перемещаем линию нулевого уровня в направлении вектора . Первой точкой контакта линии уровня с треугольником АВС является точка А и, следовательно, Z _min = Z (А). Последняя точка контакта – точка С, и следовательно, Z _max = Z (C).

Найдем координаты точек A и С и вычислим экстремальные значения целевой функции.

Точка A – точка пересечения прямых (I) и (II).