И примеры решения типовых задач

Задание 1. Стационарным скалярным полем называется пространство R ⁿ (или его часть – область V), в каждой точке М которого определенна скалярная функция (числовая функция) u (M). В частности, в трехмерном пространстве математически скалярное поле может быть определено в данной области V заданием скалярной функции

u = u (M) = u (x, y, z).

Эту функцию, независимо от ее физического смысла, называют потенциалом скалярного поля.

При изучении скалярного поля важно знать скорость изменения функции u (x, y, z), задающей это поле, при переходе от одной точки поля к другой.

Производной функции u = u (x, y, z) в точке М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) по направлению вектора называется предел (если он существует) отношения приращения функции Δ u к величине перемещения , когда последнее стремится к нулю:

или

где – направляющие косинусы вектора .

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u (x, y, z) в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), называется градиентом скалярного поля в точке М ₀

Пример. Найти производную скалярного поля в точке М ₁(2, 1, 1) по направлению градиента скалярного поля , вычисленного в точке М ₂(1, – 1, 1). Выяснить, возрастает или убывает скалярное поле в этой точке по данному направлению.

Решение. Найдем градиент векторного поля в точке М ₂(1, – 1, 1). По определению

Найдем частные производные функции v (x, y, z):

и вычислим их значения в точке М ₂(1, – 1, 1):

.

Следовательно,

, = (– 2, 2, –3).

Далее, найдем производную скалярного поля в точке М ₁(2, 1, 1) по направлению по формуле

.

Для этого найдем частные производные функции u (x, y, z):

.

и вычислим их значения в точке М ₁(2, 1, 1):

Так как

= = ,

то его направляющие косинусы равны:

cosα = , cosβ = , cosγ = .

Следовательно,

.

Поскольку , то заданная функция в направлении убывает.

Ответ: . Функция в направлении убывает.

Задания 2, 3. Стационарным векторным полем называется пространство R ⁿ (или его часть – область V), в каждой точке М которого определена векторная функция = . В пространстве R³ в случае декартовой системы координат векторное поле записывается в виде

= = P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z)

и определяется тремя скалярными функциями P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – проекциями вектора на координатные оси.

Пусть в области V R³ задано векторное поле = (P, Q, R) и функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) имеют частные производные в точке M (x, y, z) V по х, у, z соответственно. Тогда дивергенция или расходимость векторного поля в точке М,обозначаемая , определяется по формуле

.

С физической точки зрения характеризует мощность находящегося в точке М источника или стока векторного поля , то есть мощность находящегося в точке М источника, если и стока, если . В случае, когда , в точке М нет ни источника, ни стока.

Ротор или вихрь векторного поля = (P, Q, R) это вектор, который обозначается и вычисляется следующим образом:

.

Для удобства запоминания ротора его можно записать с помощью символьного определителя:

.

Линия L называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения. Для гладкой линии L в качестве ориентирующего вектора может быть выбран единичный вектор , направленный в каждой ее точке по касательной к ней в сторону перемещения. Линия называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная. Если уравнение линии y = f (x), то гладкость означает, что функция y = f (x) – дифференцируемая.

Если задано векторное поле = (P, Q, R) и некоторая замкнутая, ориентированная (кусочно-гладкая) кривая L в пространстве R ³, то криволинейный интеграл

называется циркуляцией векторного поля вдоль контура L,где – единичный вектор, направленный по касательной к кривой L и указывающий направление обхода по контуру.

Число

называется плотностью циркуляции векторного поля в точке М в направлении вектора . Вектор – единичный вектор касательной. Плотность достигает максимума в направлении и равна , т.е. .

Поток П векторного поля , через ориентированную поверхность S равен значению интеграла по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Для потока векторного поля принято представление:

.

Пусть S – замкнутая кусочно–гладкая поверхность, единичный вектор внешней нормали к которой . Тогда поток П вектора = (P, Q, R) через замкнутую ориентированную в направлении внешней нормали поверхность S можно вычислить с помощью формулы Остроградского–Гаусса:

.

Пример 1. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке М ₀(1, – 1, 0).

Решение. Наибольшая плотность циркуляции векторного поля в данной точке М ₀ достигается в направлении ротора поля и численно равна . Найдем:

,

. Тогда

.

Ответ: .

Пример 2. С помощью формулы Остроградского – Гаусса вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной плоскостью (р): х + 3 у + z = 3 и координатными плоскостями х = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Заданная векторная функция определена и дифференцируема в каждой точке области (V), ограниченной поверхностью пирамиды (рисунок 1).

Рисунок 1 – Чертеж области V

Тогда поток векторного поля в заданном направлении можно вычислить по формуле Остроградского – Гаусса:

.

Найдем дивергенцию векторного поля :

Тогда

.

Вычислим тройной интеграл по области V, получим:

= =

= = =

= .

Ответ: П = .

Задание 4. Пусть однозначная функция определена в некоторой области G комплексной плоскости z и точки z и z + ∆ z принадлежат области G. Приращение функции w в точке z имеет вид:

, где .

Производной функции в точке называется предел отношения при по любому закону, если он существует, т.е.

.

Если в точке z существует производная , то функция называется дифференцируемой в точке z.

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции u (x, y) и v (x, y) были дифференцируемы в точке (x, y) как функции двух действительных переменных и выполнялись соотношения:

, .

Эти соотношения называются условиями Коши-Римана.

Производную можно найти по одной из формул:

f ′(z) = = + i ; f ′(z) = – i ;

f ′(z) = – i ; f ′(z) = + i .

Пример. Показать, что функция f (z) = iz ³ + z ² – 3 iz дифференцируемая всюду на комплексной плоскости и записать ее производную.

Решение. Определим действительную и мнимую части функции f (z) = iz ³ + z ² – 3 iz, т.е. представим функцию в виде

.

Так как , то

f (z) = iz ³ + z ² – 3 iz = i (x + iy)³ + (x + iy)² – 3 i (x + iy) =

= i (x ³ + 3 x ² yi – 3 xy ² – y ³ i) + x ² + 2 xyi – y ² – 3 x i + 3 y =

= x ³ i – 3 x ² y – 3 xy ² i + y ³ + x ² + 2 xyi – y ² – 3 xi + 3 y =

= (y³ + x ² – y ² – 3 x ² y + 3 y) + i (x ³ – 3 xy ² + 2 xy – 3 x).

Следовательно,

u (x, y) = y³ + x ² – y ² – 3 x ² y + 3 y,

v (x, y) = x ³ – 3 xy ² + 2 xy – 3 x.

Проверим выполнение условий Коши–Римана:

, .

Найдем частные производные функций u (x, y) и v (x, y):

.

Условия Коши-Римана выполняются при всех значениях х и у, следовательно, функция f (z) = iz ³ + z ² – 3 iz является дифференцируемой на всей комплексной плоскости. При этом

= 2 х – 6 ху – i (3 y ² – 2 y –3 x ² – 3).

Ответ: = 2 х – 6 ху – i (3 y ² – 2 y –3 x ² – 3).

Задания 5,6. Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;

2) f (t) ≡ 0 при t < 0;

3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т.е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство

| f (t) | ≤ M ∙ e^st, М > 0, s ≥ 0.

Точная нижняя грань s ₀≥0 тех значений s, для которых выполняется указанное условие 3, называется показателем ро ста функции f (t).

Изображением функции f (t) по Лапласу (преобразованием Лапласа) называется функция F (p) комплексного переменного p = s + i из некоторой области D комплексной плоскости p, определяемая равенством

F (p) = .

Связь между функциями f (t)и F (p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f (t) F (p) или F (p) f (t).

Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.