Основные свойства преобразования Лапласа

1. Теорема единственности. Оригинал f (t) вполне определяется своим изображением F (p) с точностью до значений в точках разрыва функции f (t).

Из теоремы следует, что если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением точек разрыва. То есть, если

F (p) f (t), Ф (p) φ (t) и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)

во всех точках непрерывности f (t).

2. Теорема линейности. Если f (t) F (p), g (t) G (p) для любых действительных или комплексных постоянных с ₁ и с ₂, то

с ₁ f (t) + с ₂ g (t) с ₁ F (p) + с ₂ G (p), Re p > s ₀^{( k )} (k = 1,2),

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

3. Теорема подобия. Если f (t) F (p), Re p > s ₀, то для любого числа а > 0:

f (аt) = , Re p > аs ₀,

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

4. Теорема запаздывания. Если f (t) F (p), Re p > s ₀, то для любого положительного числа τ

f (t – τ) e^{– рτ}F (p), Re p > s ₀.

5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если f (t) F (p), Re p > s ₀, то для любого действительного или комплексного числа α

e^αtf (t) F (р – α), Re (р – α) > s _0,

т.е. умножение оригинала на функцию e^αt, влечёт за собой «смещение» переменной p.

6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f (t), f ′(t), …, f (t)являются функциями-оригиналами, то

f ′(t) p F (p) – f (0),

f ″(t) p ² F (p) – p ∙ f( 0) – f ′(0),

…

f (t) p F (p) – p f (0) – p f ′(0) – … – f (0).

Величина f (0), k= 0, 1, …, n – 1, понимается как f (t).

7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) F (p) (Re p > s ₀) то функция g (t) = также является оригиналом и

g (t) F (p), Re p > s ₀,

т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа составлена таблица основных формул соответствия (таблица 8).

Таблица 8 – Таблица основных формул соответствия

Номер формулы	Оригинал	Изображение
	eαt
	sin ω t
	cos ω t
	sh ω t
	ch ω t
	eαt ∙ sin ω t
	eαt ∙cos ω t
	t
	tn
	tn ∙ eαt
	t ∙ sin ω t
	t ∙ cos ω t
	t ∙ sh ω t
	t ∙ ch ω t

Пример 1. Найти изображение функции

,

используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.

Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции

.

Из таблиц соответствия известно, что

1 .

По теореме об интегрировании оригинала имеем

t ² .

Так как sin ω t , то sin 2 t . Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим

e ^{– t} sin 2 t .

Из таблицы соответствия

cos ω t .

Применяя теорему подобия, находим

cos 2 t .

Для нахождения изображения функции применим теорему о дифференцировании изображения. Получим

t ∙cos 2 t .

Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим

f (t) = 2 + t ² + e ^{– t} sin 2 t + t ∙cos 2 t = 2∙1 + t ² + e ^{– t} sin 2 t + t ∙cos 2 t

2∙ + + + .

Следовательно,

.

Ответ: .