Кручение

Кручением называется такой вид деформации стержня (вала), при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

5.2.1. Определение крутящего момента

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении используют метод сечений.

Рассмотрим пример, показанный на рис. 25а. Здесь к четырём шкивам, сидящим жёстко на валу, приложены внешние скручивающие вал моменты разной направленности. Для определения крутящего момента в сечении z рассмотрим равновесие, например, левой части (рис. 25б), для которой уравнение равновесия имеет вид:

, откуда .

При определении крутящих моментов придерживаются правила знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит крутящий момент М_к направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме внешних моментов, находящихся по одну сторону этого сечения. Делая поочерёдно аналогичные сечения вала на участках между шкивами
(рис. 25а), находим значении . Распределение крутящего момента по длине вала изображается в виде эпюры, показанной на рис. 25в.

5.2.2. Перемещения при кручении

Опыт показывает, что при кручении круглых валов:

– плоские поперечные сечения до деформации остаются плоскими и после приложения нагрузок, сами сечения при этом не искажаются;

– расстояние между любыми двумя поперечными сечениями не меняется;

– все образующие поверхности вала (линии, параллельные его оси) поворачиваются на один и тот же угол.

Деформация вала при кручении происходит за счёт сдвига одного сечения относительно другого из-за касательных напряжений τ, действующих в сечении (рис. 26). Для выяснения закона изменения деформации по сечению вырежем из вала двумя поперечными сечениями элемент длиной dz, условно закрепив жёстко один из его торцов (сечение I−I). В результате действия крутящего момента сечение II−II повернётся относительно условно закреплённого сечения I−I на угол . Точка В переместится в положение В₁. Угол между новым положением образующей АВ₁ и первоначальным АВ называется относительным углом сдвига или относительным сдвигом.

Из рис. 26 видно, что

откуда находим

. (5.8)

Отношение представляет угол закручивания на единицу длины вала, обозначается θ и называется относительным углом закручивания. Здесь ρ – текущий радиус-вектор.

Подставляя значение γ (5.8) в формулу (5.4) закона Гука при сдвиге, получим

. (5.9)

Полученное выражение определяет закон распределения касательного напряжения по сечению. Поскольку в сечении , то напряжения изменяются пропорционально радиусу ρ. Из (5.9) следует, что на контуре сечения касательные напряжения принимают максимальные значения.

Крутящий момент является результирующим моментом внутренних сил (рис.27) относительно оси z:

. (5.10)

Подставляя (5.9) в (5.10), получим

Поскольку , то , или

, (5.11)

где – полярный момент инерции сечения.

Из (5.11) получаем формулу для определения относительного угла закручивания вала:

, (5.12)

тогда угол закручивания

. (5.13)

Если , и l различны на разных участках вала, то в общем случае полный угол закручивания вала можно определить как сумму углов закручивания вала отдельных его участков:

, (5.14)

где – угол закручивания i-го участка;

n – число участков.

5.2.3. Напряжение

Подставляя (5.12) в (5.9), получим формулу, определяющую касательные напряжения, действующие в нормальном сечении вала:

. (5.15)

Максимальные значения касательных напряжений, возникающих на контуре сечения, т. е. при (d – диаметр вала), можно записать в виде:

В случае круглого сечения .

5.2.4. Условия прочности и жёсткости

Условие прочности при кручении записывается как

, (5.16)

где [τ] – принятое допускаемое значение касательных напряжений для материала вала.

Условие (5.16) прочности при кручении вала позволяет решать следующие основные задачи:

– проектировочный расчёт: по известному значению крутящего момента в сечении и материалу вала ([τ]) подбираются необходимые размеры поперечного сечения для обеспечения безопасности работы по величине полярного момента сопротивления:

, (5.17)

по значению W_р определяют диаметр вала;

– проверочный расчёт: по известному размеру вала и материалу из которого он изготовлен (задано [τ]), проверяется, выдержит ли он заданную нагрузку в виде крутящего момента ; используется выражение (5.16);

– определение допускаемой внешней нагрузки [ М ] (или установление работоспособности). По известным геометрическим параметрам сечения (W_p – задано) и материалу вала ([τ]) находится допускаемая величина внешней нагрузки:

[М] = [τ] W_p. (5.18)

Выбор величины допускаемого напряжения при кручении [τ] зависит как от свойств материала вала, так и от принятого коэффициента запаса прочности [n].

При расчёте стальных валов в случае статического нагружения можно использовать эмпирическую зависимость [τ] = (0,5 – 0,6) [σ].

Примечание. Большинство валов испытывают при работе переменные по времени нагрузки, они также воспринимают одновременно и изгибные нагрузки, поэтому их нагружения нельзя считать статическими, и в практике машиностроения для стальных валов, в зависимости от материала и условий работы, принимают более низкий диапазон изменения допускаемых напряжений, а именно: [τ] = 20 – 40 МПа.

Произведение GJ_p называется жёсткостью вала при кручении. Она характеризует способность вала сопротивляться скручиванию. В технике наряду с оценкой прочности валов имеет значение соблюдение условий жёсткости, т. е. условий, исключающих появление при эксплуатации чрезмерных деформаций. Условие жёсткости для валов имеет очевидный вид:

. (5.19)

При проектировочном расчёте:

. (5.20)

При проверочном расчёте:

. (5.21)

Допускаемый относительный угол закручивания [ θ ] принимается для разных конструкций валов и различных видов нагрузки в диапазоне или (0,00175–0,035 рад.) на один метр длины вала.