Кручение пространственной кривой

Кривизна характеризует отклонение кривой от криволинейной формы, а кручение (2-я кривизна) – отклонение кривой от плоской формы

Пусть т. и М – т. близкая к т. . Обозначим - угол между соприкасающимися плоскостями в этих точках (или угол между бинормалями).

Тогда под абсолютным кручением кривой в т. будем понимать:

Кручение

Теорема. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой своей точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определение абсолютное кручение Если естественная параметризация кривой, то

□ Если кривизна в т. отлична от нуля, то она отлична от нуля в окрестности т. вектора - не коллинеарны в любой т. М близкой к существует единственная соприкасающаяся плоскость

b(s+

b(s+

ψ

b(s+

ψ

Получим, что .

Но 1) (свойство векторной функции).

2)

Из 1) и 2) следует, что

Известно, что

, тогда .

Получаем:

О знаке кручения (определение кручения)

Из параллельности векторов и следует, что при движении по кривой в сторону возрастающих s соприкасающаяся плоскость кривой поворачивается около касательной (кручение, длина вектора выражает скорость вращения вектора бинормали, а следовательно соприкасающейся плоскости).

Кручение кривой определяется равенством Знак «+» берется, если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от b к и «», если вращение происходит в направлении от . Таким образом, .

Замечание. Точки кривой, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.

Вычисление кручения

1) Кривая r = r(t) задана в естественной параметризации.

,

1) Так как

2)

Но вектор кривизны.

О знаке. Т.к. при движении вдоль кривой в сторону возрастания параметра s соприкасающаяся плоскость поворачивается возле касательной. Если движение происходит от от b к , то «+» и если от , то «».

2) Кривая r = r(t) задана векторно-параметрически:

3) Кривая задана параметрически:

4) Кривая задана явно: