2015-05-05
7090
Функция y= f(x) называется БМФ в процессе, когда x →x0 (в окрестности точки х0 или бесконечно удаленной точки), если limх →х0 f(x)=0.
Свойства:
Теорема. Сумма двух бесконечно малых функций в окрестности точки x есть БМФ в окрестности этой точки.
Следствие Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть БМФ.
Теорема. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную в окрестности точки 0 x, есть БМФ.
Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции и константы есть БМФ. 2. Произведение двух бесконечно малых функций в данном процессе есть в этом процессе БМФ. 3. Произведение любого числа бесконечно малых функций есть БМФ
Теорема. Отношение бесконечно малой функции к функции, предел которой есть конечное число, является также БМФ
Теорема. Величина, обратная бесконечно малой функции имеет своим пределом +∞ или –∞.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие существования предела). Для того чтобы функция y =f(x) при x →x 0 имела конечный предел А, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки x0 f(x) можно было бы представить в виде суммы этого предела и БМФ.
|
|
|
ББФ и их св-ва
Бесконечно большой в окрестности точки x0 называется такая функция, для которой limх →х0 f(x)= ∞.
Свойства: Теорема Величина, обратная ББФ в окрестности точки x0 , есть БМФ.
Теорема. Сумма любого числа бесконечно больших функций одного знака есть ББФ. (∞ + ∞ + ∞ + …) = ∞.
Теорема Произведение бесконечно большой функции на функцию, ограниченную в данном процессе, есть ББФ.
Следствие Произведение постоянной величины и бесконечно большой функции есть ББФ.
Теорема Отношение бесконечно большой функции и величины, ограниченной в данном процессе, но не равной 0, есть ББФ.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах
Теорема. Если функция f (x) определена в некотором промежутке, содержащем точку х0, и имеет положительный (отрицательный) предел при x →x0, то найдется такая окрестность точки х0, в которой функция положительна (отрицательна).
Теорема. Если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f1(x)> f2(x) и функции f1 и f2 имеют пределы при x →x0 , то
Lim x →x0 f1(x) ≥ lim x →x0 f2(x).
Теорема (теорема о «зажатой» функции или о «двух милиционерах»). Если функции u(x), y(x), v(x) связаны в окрестности точки х0 соотношением u(x) ≤ y(x) ≤ v(x) и
Lim x →x0 u(x)=А, Lim x →x0 v(x)=А, то Lim x →x0 y(x)=А.
Теорема Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 монотонно возрастающая (убывающая) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
Теорема Если функция f(x) – элементарная и определена при x = x0, то Lim x →x0 f(x)= f (Lim x →x0 х).
