B) Параметрическое задание кривой. Если плоская гладкая кривая задана параметрическими уравнениями и функции неп

Если плоская гладкая кривая задана параметрическими уравнениями и функции непрерывно дифференцируемы на отрезке , то длина дуги кривой определяется формулой

. (2)

Пример 4. Найти длину дуги одной арки циклоиды

.

Какие координаты имеет точка циклоиды, если дуга в четыре раза короче длины дуги всей арки? (Рисунок см. в пр.8 следующего раздела).

Вычислим сначала , тогда

.

Мы уже знаем, что для первой арки циклоиды параметр .

По формуле (2) находим

.

Здесь учтено, что для .

Значит, длина дуги равна . Найдем, какому значению параметра соответствует такая длина. Теперь в соотношении

неизвестным является верхний предел интегрирования. Поскольку все необходимые вычисления проделаны выше, запишем

.

Решая полученное тригонометрическое уравнение, получаем . Осталось вычислить координаты точки :

.

Пример 5. Найти длину кривой (развертка окружности или эвольвента), .

Вычислим , тогда подынтегральная функция принимает вид и по формуле (2) находим

.

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , определяется формулой

. (3)

Пример 6. Найти длину дуги одного витка винтовой линии

.

По формуле (3) при изменении параметра от до находим