Вычисление определенных интегралов

4 5 6 7 8 9 10

a) Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция непрерывна на отрезке и – ее первообразная, тогда

. (1)

Пример 1. Вычислить интегралы

a) , b) , c) .

a) Для функции первообразная . По формуле Ньютона-Лейбница находим

= .

b) Для функции первообразная . По формуле (1):

Для функции первообразная . По формуле (1):

Пример 2. Вычислить интегралы

a) , b) , c) , .

a) Для вычисления первообразной применим стандартный прием понижения степени: .

b) Так как подынтегральная функция , то следует взять на промежутке интегрирования от до и на промежутке от до . В силу аддитивности определенного интеграла , поэтому

c) Вычисление первообразной сводится к табличному интегралу : =

= = .

b) Интегрирование по частям. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке , тогда

Или . (2)

Пример 3. Вычислить интегралы

a) , b) , c) .

a) Стандартный для такого интеграла выбор частей и формула (2) приводят к результату:

b) .

c) Замена переменной. Пусть выполняются условия:

a) функция непрерывна на ;

b) функция непрерывна вместе со своей производной на , причем и ;

с) сложная функция определена и непрерывна на ,

тогда

. (3)

Пример 4. Вычислить интегралы

a) ; b) ; c) ; d) .

а) Как и при вычислении неопределенного интеграла, здесь следует рационализировать подынтегральное выражение. Для этого выполним замену переменной , тогда . Но сейчас следует найти пределы изменения новой переменной :

если , то , если , то .

В соответствии с формулой (3) получаем

b) Не стоит возводить двучлен в 12-ую степень и затем интегрировать полином 25—го порядка. Замечая, что , выполним замену , тогда подынтегральное выражение преобразуется к виду . При изменении от до новая переменная изменяется от до .