C) Полярные координаты. Если гладкая кривая задана уравнением и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Если гладкая кривая задана уравнением и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (4)

Пример 7. Найти длину кардиоиды .

Кардиоиду описывает точка окружности радиуса , катящейся без скольжения снаружи по окружности такого же радиуса. Очевидно, полный оборот внешняя окружность делает при . Симметрия относительно оси абсцисс позволяет взять . Вычислим производную и запишем подынтегральную функцию

.

Теперь по формуле (4) находим

.

Здесь учтено, что , если .

Пример 8. Найти длину первого витка спирали Архимеда .

Первый виток спирали соответствует изменению параметра в пределах от до . По формуле (4) запишем

.

Интеграл можно вычислить, например, с помощью подстановки .

Мы поступим иначе. Обозначим и вспомним метод интегрирования по частям:

.

Так как справа снова получили , а табличный интеграл , то пришли к линейному относительно неизвестного интеграла уравнению:

.

Значит,

.