2015-05-05
414
Если гладкая кривая задана уравнением 
и функция 
непрерывно дифференцируема на отрезке 
, тодлина дуги этой кривой вычисляется по формуле
. (1)
Пример 1. Найти длину окружности 
.
В силу симметрии кривой достаточно вычислить длину дуги, содержащейся в первой четверти, т.е. 
. Найдем сначала производную 
и 
. Теперь по формуле (1) получаем знакомый результат:
.
Пример 2. Найти длину дуги цепной линии 
от точки с абсциссой 
до точки с абсциссой 
.
Найдем сначала 
и 
.
Здесь учтено основное тождество для гиперболических функций 
и неравенство 
. Значит, по формуле (1) получаем
.
(Напоминаем, что 
и 
).
Пример 3. Найти длину дуги астроиды 
|
Астроиду описывает точка 
окружности радиуса 
, катящейся без скольжения внутри окружности радиуса 
. В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно рассмотреть дугу, соответствующую изменению аргумента 
от до 
.
Сначала вычислим 
.
Значит, подынтегральная функция в формуле (1) имеет вид
,
а длина дуги астроиды равна 
.
