A) Декартовы координаты

Пусть функция непрерывна на отрезке и на этом отрезке. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная этой кривой, прямыми и осью абсцисс, имеет площадь, определяемую формулой

. (1)

Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

По формуле (1) находим

.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой и осью ординат.

Первый способ. Кривая симметрична относительно оси абсцисс, поэтому достаточно вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой , . По формуле (1) находим

Второй способ. Изменим роли осей координат. Пределы интегрирования по переменной найдём как точки пересечения кривой с осью ординат: . Тогда (напоминаем о симметрии)

Если на отрезке , то

. (2)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной синусоидой , осью абсцисс и прямыми

При функция , соответствующую площадь находим по формуле (1):

При функция , соответствующую площадь находим по формуле (2):

Искомая площадь равна сумме найденных площадей:

Если плоская фигура ограничена двумя непрерывными кривыми и , и прямыми , , то её площадь определяется формулой

. (3)

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

Точки пересечения парабол найдем, решая систему уравнений

Здесь

и по формуле (3) находим

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной верхней половиной окружности и параболой

Найдём абсциссы точек пересечения заданных кривых, решая систему уравнений

Здесь , . С учётом симметрии площадь фигуры определяем по формуле (3): .

Вычислим каждый интеграл отдельно:

1.

=

2.

Теперь

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Найдём пределы интегрирования, решая систему

По формуле (3) находим