2015-05-05
905
Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и 
на этом отрезке. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная этой кривой, прямыми 
и осью абсцисс, имеет площадь, определяемую формулой
. (1)
Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой 
, прямыми 
, 
и осью абсцисс.
По формуле (1) находим
.
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой 
и осью ординат.
Первый способ. Кривая симметрична относительно оси абсцисс, поэтому достаточно вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой 
, 
. По формуле (1) находим
Второй способ. Изменим роли осей координат. Пределы интегрирования по переменной 
найдём как точки пересечения кривой с осью ординат: 
. Тогда (напоминаем о симметрии)
Если 
на отрезке , то
. (2)
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной синусоидой 
, осью абсцисс и прямыми 
При 
функция 
, соответствующую площадь находим по формуле (1):
При 
функция 
, соответствующую площадь находим по формуле (2):
Искомая площадь равна сумме найденных площадей: 
Если плоская фигура ограничена двумя непрерывными кривыми 
и 
, 
и прямыми 
, 
, то её площадь определяется формулой
. (3)
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
Точки пересечения парабол найдем, решая систему уравнений
Здесь 
и по формуле (3) находим
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной верхней половиной окружности 
и параболой 
Найдём абсциссы точек пересечения заданных кривых, решая систему уравнений
Здесь 
, 
. С учётом симметрии площадь фигуры определяем по формуле (3): 
.
Вычислим каждый интеграл отдельно:
1. 
= 
2. 
Теперь 
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой 
и параболой 
.
Найдём пределы интегрирования, решая систему
По формуле (3) находим
