2015-05-05
275
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛП
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.
Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости 
некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.
Примечание №2.1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство
можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)
ЦФ 
при фиксированном значении 
определяет на плоскости прямую линию 
. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси 
(начальная ордината), а угловой коэффициент прямой 
останется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор 
с координатами из коэффициентов ЦФ при 
и 
перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора 
совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположнонаправлению вектора .
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора 
в ОДР производится поиск оптимальной точки 
. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня 
( 
), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции 
. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.
