Мысалы

1. Шеңберді екі жарты шеңбер мен бүркеуге болады, ал жарты шеңбер элементар сызық олай болса шеңбер сызық болады.

2. Тангенсоиды - әрқайсысы сан интервалына гомеоморфты элементар сызықтардың есепті жиыны сондықтан тангенсоиды сызық болады.

§4. Тегіс сызық.

1. Тегіс сызық ұғымы.

Айталық, , , , (1) эл ементар сызығы берілсін.

Анықтама: сызығы класының тегіс сызығы деп аталады, егер , , функциялары аралығында ретке дейінгі үздіксіз туындылары бар және (2) матрицасының рангісі 1-ге тең болса, онда .

(2) шарт туындылары ешбір мәнінде бәрі бірдей нөлге тең емес дегенді білдіреді.

Мысал. теңдеулері синусоиданы анықтайды. Бұл теңдеулердің оң бөліктері кезкелген ретті үздіксіз туындылары бар және . Олай болса синусоида класының тегіс сызығы.

Анықтама: жай сызығы класының тегіс сызығы деп аталады, егер әрбір кезкелген ішкі нүктесінің қимасы класының тегіс элементар сызығы болатындай маңайы табылса.

2.Бөлік – тегіс сызық ұғымы.

, , (1)

Анықтама: Егер облысын әрқайсысында (1) теңдеулер тегіс сызықты анықтайтындай аралықтарының шекті немесе есепті жиынымен бүркеу мүмкін болса, онда сызығы бөлік – тегіс сызық деп аталады. ( аралықтарының шеткі нүктелерінде тегістік талабы орындалмауы мүмкін)

Мысал. , , , , ( - тұрақты сан),

x

y

теңдеулерімен анықталатын фигура циклоида деп аталады. Циклоида түзуге гомеоморфты, яғни элементар сызық. Бірақ ол тегіс сызық емес.

, , туындылары нүктелерінде . Бұдан рангі , яғни тегістік шарттың біреуі бұзылады. Олай болса циклоида тегіс сызық емес. Циклоида барлық сан түзуінде анықталғанын көреміз. Ал сан түзуін аралықтарының саналатын жиынмен бүркеуге болады. Ал аралықтарының әрқайсысында берілген теңдеулер тегіс сызықты анықтайды. Олай болса, циклоида бөлік - тегіс сызық.

§5. Қисыққа жанама

1. Қисыққа жүргізілген жанаманың анықталған жанаманың бар болуы туралы теорема.

сызығы, нүктесі, түзуі берілсін.

болсын.

Анықтама. түзуі сызығының нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады, егер нүктесі қисық бойымен нүктесіне шексіз жақындағанда бөлшегі 0-ге ұмтылса.

Теорема. тегіс сызықтың әрбір нүктесінде жанама болады және ол біреу болады. Егер векторлық теңдеуімен берілсе, онда нүктесіндегі жанаманың бағыты параметрдің осы нүктеге сәйкес мәніндегі векторының бағытымн анықталады, яғни жанама векторына параллель болады.

Дәлелдеуі: Айталық параметрдің мәніне сәйкес нүктесінде түзуі сызығына жанама болсын. түзуінің бағыттаушы бірлік векторы болсын.

Параметрдің мәніне нүктесі, ал мәніне нүктесі сәйкес келсін.

түзуі сызығына нүктесінде жүргізілген жанама болғандықтан болады, яғни , ал бұл теңдік тек болғанда ғана мүмкін. Сонымен, егер нүктесінде жанама бар болса, векторы оның бағыттаушы векторы болады, бұдан жанаманың біреуі екені шығады. нүктесі арқылы өтетін, векторына параллель түзуі сызығына жанама болатыныда дұрыс, себебі

, яғни

2. Жанаманың әртүрлі теңдеулері

1) берілсе, жанаманың векторының теңдеуі (1) түрінде болады.

2)

(2)

3) -

(3)

4)

(4)

5) сызық теңдеулерімен берілсін.

Жанаманың теңдеуін жазу керек.

Айдалық нүктесінің маңайын сызығы параметрлік теңдеулерімен анықталсын. Бұл жағдайда жанаманың теңдеуін жазу үшін туынды мәндерін табу жеткілікті.

теңбе-теңдіктерін аламыз. Бұл теңдіктерді бойынша дифференциалдасақ теңдіктерін аламыз.

Бұл жүйеден шарттарын аламыз. Олай болса,

екені шығады. Олай болса, жанаманың теңдеуі (5)

Түрінде болады.

6) болса, жанаманың теңдеуі (6)

7)

(7)

3. Нормаль жазықтық.

Анықтама. Қисықтың нүктесіндегі жанамасына перпендикуляр және осы нүкте арқылы өтетін жазықтық нүктесіндегі нормаль жазықтық деп аталады.

болса, нормаль жазықтықтың теңдеуі (8) түрінде болады.

§6. Доғаның ұзындығы

1. класының тегіс сызығы теңдеулерімен берілсін.

кесіндісі аралығының бөлігі болсын. параметрі осы кесіндіде өзгергенде (1) теңдеулер нүктелері болатын кейбір доғасын сызады.

A

B

Матанализден бұл доғаның ұзындығы S мына формуламен есептелетіні белгілі (2) немесе векторлық формада жазсақ (2).

Бұл формулалардан доғаның ұзындығы дан тәуелді функция екенін көреміз. Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың қасиеті бойынша (4)

Егер аралығында (1) функциялар кейбір тегіс сызығын анықтайды.(2) формула аралығын аралығына бейнелеуін орнатады. Бұл функция аралығында монотонды өспелі, себебі олай болса, оған кері функциясы табылады, және (5)

(2) формуладан функциясы аралығында К ретке дейін үздіксіз туындысы бар екені шығады. Ал (5) формуладан функциясының К ретке дейін үздіксіз туындылары бар екені шығады.Олай болса функциясы аралықтарының арасында гомоморфизм орнатады. Сондықтан, сызықтың теңдеулерінде параметр ретінде осы сызықтың кейбір нүктесінен басталатындығынан S ұзындығын алуға болады.

Сызықты бұлайша параметрлеу табиғи параметрлеу деп аталады.

I тегіс сызықта табиғи параметрлеу берілсін. Онда (1) теңдулер түрінде болады. Мұнда S – A нүктесінен басталатын доғаның ұзындығы.

(2) формулада десек

теңдеуін аламыз, яғни , бұдан - бірлік вектор екені шығады, оны делік. - жанаманың бірлік векторы.

Мысалы:

§7. Сызықтық қисықтығы және бұралуы.

1. Сызық қисықтығы, теорема.

класының тегіс сызығы (1) немесе , , (1’) теңдеулерімен берілсін. нүктесінен жүргізілген жанаманың бірлік векторы екені белгілі.

Анықтама: векторы сызығының нүктесіндегі қисығының векторы деп аталады. Ал ұзындығы саны сызығының осы нүктедегі қисықтығы деп аталады.

z

М

у

х

Қисықтық K- S параметрлеріне тәуелді функция.

Анықтама: Егер нүктесінде болса, саны сызығының нүктесіндегі қисықтық радиусы деп аталады. Егер сызығы (1) теңдеумен берілсе, оның кез келген нүктесіндегі қисықтығы

(2) формула, ал (1’) теңдеулерімен берілсе, (2’) формуласымен есептеледі.

Теорема: сызығы қарапайым сызық болу үшін оның әрбір нүктесіндегі қисықтығы

нольге тең болуы қажетті және жеткілікті.

( - қарапайым сызық)

Дәлелдеуі:

1) - қарапайым сызық делік, яғни түзу немесе оның бөліктері түзудің векторлық теңдеуі (, - тұрақты векторлар),

2) , , , , .

, , , ал бұдан - векторына параллель түзу не түзудің бөлігі, яғни - қарапайым сызық.

2. Сызықтың жылжымалы репері. сызығының барлық нүктесіндегі қисықтығы нольден өзге делік. Онда оның әрбір нүктесінде , сондықтан сызықтың әрбір нүктесінде векторына параллель түзу өтеді.

Анықтама: нүктесі арқылы өтетін, векторына параллель түзу бас нормаль деп аталады. түрінде белгіленеді.

Лемманы осыдан екені шығады. Сондықтан бас нормаль жанамасына перпендикуляр.

Анықтама: векторы бас нормальдың бірлік векторы деп аталады. болғандықтан , ал бұдан (3)

векторын қарастырайық.

Анықтама: түзуі сызығының нүктесіндегі бинормаль деп аталады, ал бинормальдың бірлік векторы деп аталады. нүктесі, , векторлар үштігі ортонормаланған реперін анықтайды. Бұл репер сызығының нүктесіндегі канондық репері деп аталады. Тегіс сызықтың қисықтығы нольге тең емес әрбір нүктесінде канондық репері бар. Осы репердің координат жазықтықтары сәйкесінше төмендегіше аталады:

- жанасушы жазықтық

- нормаль жазықтық

- түзетуші жазықтық.

нүктесі сызығының бойымен жылжығанда репері де өзгереді, сондықтан жылжымалы репер деп аталады.

3. - бірлік вектор болғандықтан, , бұдан векторы түзетуші жазықтыққа параллель, сондықтан оны , векторлары бойынша жіктеуге болады, яғни

æ (4)

теңдігі дұрыс. Осы теңдікті S бойынша дифференциалдасақ:

æ æ .

Онда (4) формула æ (5) түріне көшеді. Сонымен қатар теңдеуі белгілі, оны s бойынша дифференциалдасақ: æ æ æ , сонымен æ

Мына формулаларды таптық:

(6)

Бұл формулалар Френе формулалары деп аталады. Тегіс сызықтардың теориясы осы формулаларға негізделген.

4. Сызық бұралуы.

Анықтама. æ формуласындағы æ саны сызығының М нүктесіндегі бұралуы деп аталады.

Сызықтың бұралуы S параметрлерінің функциясы болады. Табиғи параметрлермен сызықтың бұралуын есептейтін формуланы

Қорытып шығарайық.

I Френе формуласын түрінде жазсақ,

Мына аралас көбейтіндіні есептейік:

(7)

5. Жазық сызық.

Анықтама: Барлық нүктесі бір жазықтықта жататын сызық жазық (плоская линия) сызық деп аталады.

Жазық сызықтың қасиеттері:

. Жазық сызықтың жанасушы жазықтығы сызық жатқан жазықтықпен беттеседі.

. Жазық сызықтың бас нормалі сызық жазықтығында жатады және бас нормальді сызықты нормалі деп атайды.

. Жазық сызықтың барлық нүктесіндегі бұралуы нольге тең болады.

Теорема. Егер сызықтың барлық нүктесіндегі бұралуы нольге тең болса, мұндай сызық жазық сызық болады.

1) жазық сызық.

Д-уі: х=0 (тұрақты вектор), онда теңдігінен жазықтың теңдеуі. Мұнда вектор координаты, ал бұдан сызық бар нүктелері теңдеуімен берілген жазықтықта жататыны шығады, яғни жазық сызық.

6. Сызықтың кез келген параметр жағдайында қисықтығы және бұралуын есептеу.

(8)

Сызықтың параметр болған жағдайда Канонд, қисықтығын, бұған есептеу формуласын табу керек.

сызығында S табиғи параметрін енгіземіз және S=h(t) делік. (параметр алмастыру функциясы берілген) Егер сызығының табиғи параметрленуі болса, онда теңдеуі (1) теңдеумен бірдей болады, сондықтан

(2)

(3)

(3) теңдәктен векторы жанасушы жазықтыққа параллель екені шығады.

(*)

көбейтуді тапсақ

Сонымен

(*) .

Енді Х-ң формуласын қорытып шығарайық, ол үшін векторын табайық.

.

7. Винттік сызық.

Кеңістіктегі берілсін. Кеңістіктің М(х,у,z) нүктесі мына екі шартты қанағаттандыратынкүрделі қозғалыс жасайды:

1) 0z осін бірқалыпты айналады.

2) 0z осіне параллель бірқалыпты орын ауыстырады.

Осылайша қозғалатын М нүктесінің t қозғалыс заңдылығын табу керек.

Айталық t уақыт жиелігін де бұл нүкте М(х,у,z) орнында болсын. P- М нүктесінің х0у ортогональ проекциясы болсын. P(х,у,о) М нүктесі 0z осін

айнала қозғалғанда P нүктесі хоу жазықтығында о нүктесін бірқалыпты айналады. Айталық М нүктесінің бастапқы жағдайы А(а,0,0) нүктесімен беттесіп P нүктесінің (а>0) айналуын бірқалыпты болғандықтан <А0р айналу бұрышы Қозғалыс уақыты t-ға пропорционал болады. Жеңілдік үшін пропорцияның к делік, яғни <А0р=t.

бұдан екенің көреміз.

М нүктесі 0z осінің бағытында бірқалыпты орын ауыстыратын болғандықтан, ығысу аралығы t уақытқа пропорционал болады.

Z=b*t (b-const- біржақты ығысу) Сонымен М нүктесінің қозғалыс заңдылығы былайша болады:

Бұл теңдеулер кеңістігінде кейбір элементар сызықты анықтайды.Және ол к винттік сызық деп аталады.

екенің ескеріп, винттік сызық дөңгелек цилиндрге жататының байқаймыз. Векторлық формуласы:

Винттік сызық үшін

§1.Бет ұғымы.

1.1. Екі скаляр аргументтің вектор функциясы.

V - үш өлшемді векторлық кеңістік, G - екі өлшемді аралық (не R2; не не квадрат ) берілсін.

Анықтама. Егер қандай да бір заңдылық бойынша

«нүктесіне» кейбір векторы сәйкес келсе, онда G аралығында екі аргументтің u, v вектор функциясы анықталған (берілген) делінеді, белгілеуі

Анықтама. вектор функциясы нүктесінің маңайында ақырсыз аз функция деп аталады, егер болса.

Анықтама. векторы функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер - айырмасы осы нүктенің маңайында ақырсыз аз функция болса.

Анықтама. функциясы нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер базисінде векторын G аралығының

әрбір нүктесіндегі түрінде жіктесек, коэффициенттері G аралағында анықталған u,v айнымалыларының сан функциялары болады. Бұл функцияларды вектор функциясының базисіндегі координаталары деп атайды. Егер және болса, онда болады.

Анықтама. десек -бір аргументтің вектор функциясының аламыз, бұл фукция кейбір сан аралықта анықталады. Осы аралықтың кейбір нүктесінде туындысы бар болса, онда функциясының айнымалысы бойынша дербес туындысы деп атайды, былайша белгілеуі: не дәл осылайша дербес туындысы анықталады.

Сызықтар тақырыбындағы теорема 1 бойынша және дербес туындылары табылады, сонда тек егер және дербес туындылары бар болса. Осы теорема бойынша

теңдіктері дұрыс болады.

Анықтама. дифференцилды функциясы деп аталады.

,

1.2 Бет ұғымына қатысты түсініктер. Беттің әртүрлі теңдеулері

-евклид кеңістігінде жазықтығында тік бұрышты координаталар жүйесін қарастырып, нүктесіне қосына сәйкесіке қойсақ, биективті бейнелеуді аламыз. Бейнелеу гомеоморфизм болады. Осыны ескерсек сандық кеңістіктегі жазықтығымен; кеңістігін жарты жазықтығымен; сандық квадратты квадраттымен алмастыруға болады.

(1-сурет)

Анықтама. Жазықтықтық, жарты жазықтықтық, квадрат фигуралары қарапайым бет деп аталады.

Анықтама. Қарапайым беттердің біріне гомеоморфты фигураны элементар бет деп атайды. Мысалы: эллипстік параболоид, гиперболалық параболоид, жазықтыққа гомеоморфты фигуралар, яғни олар элементар беттер, жарты сферада элементар бет, себебі ол дөңгелекке гомеоморфты.

Анықтама. Бет деп, элементар беттердің шекті немесе есепті жиынымен бүркеуге болатын кеңістігіндегі фигураны айтады. Мысалы: сфера, эллипсоид, эллипстік цилиндр – беттер.

Анықтама. бетінің нүктесі кәдімгі нүкте деп аталады, егер оның маңайы табылса.

Кәдімгі нүкте ішкі және шекаралық болып бөлінеді. Егер қимасы жазықтыққа гомеоморфты болса, -ішкі нүкте болады, ал жарты жазықтыққа гомеоморфтті болса,онда -шеакаралық нүкте болады.

Анықтама. нүктесі кәдімгі нүкте емес болса, оны ерекше нүкте деп атайды.

Анықтама. Әрбір нүктесі кәдімгі нүкте болатын бет жай бет деп аталады. Мысалы: эллипсоид, эллипстік цилиндр гиперболоидтар жай беттер. Конустық бет – жай бет емес, себебі төбесі ерекше нүкте.

кәдімгі нүкте

- түзу нүктелері ерекше нүктелер.

Беттің әртүрлі теңдеулері (параметрлік, векторлық теңдеулері, тік бұрышты координаттар берілген теңдеу)

тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін. - екі өлшемді облыс, - элементар бет болсын.

гомеоморфизмін қарастырайық. Осы гомеоморфты ʺнүктесіʺ нүктесіне көшсе, онда айнымалары айнымаларының облысда анықталған функциялары болады, яғни

теңдеулер бетінің параметрлік теңдеулері деп аталады. Бұл теңдеулер

векторлық теңдеуімен мәндес, мұнда нүктесінің радиус –векторы. - бетінің векторлық теңдеуі.

Кеңістікте тік бұрышты декартық координат жүйесі берілсе теңдеуі қандайда бір бетті анықтайды.