Понятие функции, дифференцируемой в точке

Опр. Функция у= f (x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в х₀ можно представить в виде ∆у=А∆х+α(∆х)∆х (*), где А – некоторое число, α(∆х) – функция от ∆х, являющаяся бесконечно малой при ∆х→0. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке устанавливает Теорема.

Теорема. Для того чтобы f (x) была дифференцируема в точке х_0,необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть функция у= f (x) дифференцируема в х_0.Тогда ее приращение можно представить в виде (*). Следовательно

Следовательно производная существует и равна А. 2. Достаточность. пусть существует конечная производная f ′ (х₀)=А. Тогда по определению производной, lim_∆х→0(∆у/∆х)=А. положим, что α(0)=0 и α(∆х)= (∆у/∆х) – А, если ∆х≠0. Определеннная так функция α(∆х) является бесконечно малой при ∆х→0. Действительно lim_∆х→0α (∆х)= lim_∆х→0((∆у/∆х) – А)=А – А=0. Кроме того, ∆у=А∆х+α(∆х)∆х. Тем самым доказано, что функция дифференцируема в х_0.

Замечание. Если функция дифференцируема в х₀, то из (*) следует, что ∆у→0, когда ∆х→0, т.е. функция непрерывна в данной точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Пусть f (x) дифференцируема в х₀,следовательно, существует производная и коэффициент А из (*) совпадает с производной, как следует из доказательства теоремы. Тогда формулу (*) можно представить

f (x)=f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х +α(∆х)∆х. α(∆х) б.м. функция (∆х→0)