Дифференциал функции в точке

Опр. Диф-м функции в х₀ наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

d f(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх

Геометрический смысл. Уравнение касательной в х₀ эквивалентно уравнению

у =f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х (***)

сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f (x)) на графике до точки Q (x, f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0.

Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f (x) в точке х₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

Приближенные вычисления.

D f (x₀)»f '(x₀) Dx

f (x₀₊Dx)- f (x₀)» f '(x₀) Dx Dx®0

f (x₀₊Dx)= f (x₀)+ f '(x₀) Dx

Эластичность функции и ее свойства.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется следующий предел

E_yx(x₀) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

^{Δx ® 0}

Говорят также, что Е_xy(x₀) – это коэффициент эластичности y по x.

(При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство

(Δy/y): (Δx/x)» Е_y Þ Δy/y» Е_y Δx/x.

Эластичность E_y – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

Е_yx(x₀) = lim ([(f(x₀ + Δx) – f(x₀))/f(x₀)]: [Δx/x₀]) = (x₀/f(x₀))f’(x₀)

^Δx®0

E_y = (x/y)y’.

Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается

E_y = x(lny)’

x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’ Þ E_y = (lny)’/(lnx)’

Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)

1) Eky = Ey

Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey

2) Euv = Eu + Ev

Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev

3) E u/v = E u – Ev

4) y = y₁ + y₂; y₁, y₂ > 0

E_min £ Ey £ E_max

E_min = min {E(y₁), E(y₂)}

E_max = max {E(y₁), E(y₂)}

(Лемма a/b, c/d – дроби; a/b £ c/d Þ a/b £ (a+c)/(b+d) £ c/d)

E(y) = y’x/y

E (y₁ + y₂) =((y₁ + y₂)’/ (y₁ + y₂))•x = ((y₁’ + y₂’)/ (y₁ + y₂))•x

E(y₁) = (y₁’/y₁)x; E(y₂) = (y₂’/y₂)x

Из леммы получаем: (y₁’/y₁)x £ ((y₁’ + y₂’)/ (y₁ + y₂))•x £ (y₂’/y₂)x Þ

Þ E_min £ Ey £ E_max

5) Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t₀ удовлетворяет следующему равенству:

E_yx(t₀) = E_yx(g(t₀))E_xt(t₀).

E_yt(t₀) = (ln y)’_t = (ln y)’_t (ln x)’_t = (ln y)’_x x_t’ E_xt(t₀) = E_yx(g(t₀))E_xt(t₀)

(ln t)’_t (ln x)’_t (ln t)’_t ( ln x)’_x x_t’

6) Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x₀ удовлетворяет соотношению:

E_xy(y₀) = E ^–1_yx(g(y₀)).

Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество

f(g(y)) = y

По свойству 5) получается E_yx(g(y₀))E_xy(y₀) = E_yy(y₀) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 Þ

Þ E_yx(g(y₀))E_xy(y₀) = 1 Þ E_xy(y₀) = E ^–1_yx(g(y₀))