Производная сложной и обратной функции

Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g¢(y₀)=1/f(x₀) или x¢_y=1/y¢_x.

Доказательство.

Пусть а=f¢(x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение Dу= f(x₀+Dх) - f(x₀) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢(y₀)= lim g(y+Dy)-g(y₀) = lim Dx =lim ì Dyü^-1 = 1.

^Dy®0 Dy ^Dy®0 Dy ^Dy®0 îDxþ f¢(x₀)

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|_t=to=f¢(x₀)_*g¢(t₀) или y¢_t=y¢_x*x¢_t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢(x₀)+a(Dx)_*Dx. Где Dx®0 при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t₀. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|_t=to=lim (f¢(x₀)) Dx +a(Dx) Dx =

dt ^Dt®0 Dt Dt

=f¢(x₀)g¢(t₀)+0_*g¢(t₀)= f¢(x₀)g¢(t₀).