Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х₀Î [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х₀=а, 2) х₀=b, 3)х₀Î(a,b). Пусть х₀Î(a,b). Тогда х₀ – точка локального экструмума и, если существует f¢(x₀), f¢(x₀)=0. Однако производная f¢(x₀) может и не существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой производная f¢(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x₀ является критической точкой функции f(x). Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x₁,x₂, …,x_n}. Из сказанного выше следует, что точка x₀, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x₁,…x_n. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство f_max=max{f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}. Аналогично для минимального значения f_min=min { f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}.

18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Область определения функции, поведение функции на границе области определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы (вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f (x)/х (предел равен к) и f (x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b). Подробнее вопр.1.3.

2. Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f (-x)= f (x); нечетная f (-x)=- f (x). Периодичность f (x+Т)= f (x)= f (x-Т))

3. Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную, критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.