Производные и дифференциалы высших порядкров

Если для функции y=f(x) определена производная у^(к-1) порядка (к-1), то производную у^(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у^(к) = (у^(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.

Табл. Произ-х высшего порядка:

f(x)	fn(x)
Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx	A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*π/2) kn*cos (kx+n*π/2)

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d²y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d³y=d(d²y)…

dⁿy=d(d ^n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d²y=y’’(dv)², d³y=y’’’(dv)³,…, dⁿy=y⁽ⁿ⁾⁽dv)ⁿ.

Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d²y=f’’(v)*(dv)²+ f’(v)d²v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

Формула Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ((f’(x₀))/1!)(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х₀,

r_n(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х ® х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

^{Х®Хо Х®Хо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х ® х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)^a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xⁿ,

2) e^x» 1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,

3) ln(1+x)» x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n

4) sin x» x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,

5) cos x» 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.