Теоремы существования решений системы функциональных уравнений

Пусть m функций

F₁(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m);

F₂(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m);

………………………

F_m(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m)

Дифференцируемы в некоторой окрестности точки a = (х₁⁰,…, х_n⁰, u₁⁰,…, u_m⁰) евклидова пространства R^n+m, причем частные производные этих функций по переменным u₁,…, u_m непрерывны в точке a. Тогда если все функции F₁,…,F_m обращаются в нуль в точке a, якобиан D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_m) отличен от нуля в этой точке, то найдется окрестность точки (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n⁰), в которой существует единственные m функции u₁ = f₁(х₁, х₂,…, х_n), u₂ = f₂(х₁, х₂,…,х_n), …, u_m = f_m(х₁, х₂,…, х_n), являющиеся решениями системы

F₁(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m) = 0;

F₂(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m) = 0;

………………………

F_m(х₁,…, х_n, u₁,…, u_m) = 0,

Причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки (х₁⁰,…, х_n⁰). При этом

∂f_k / ∂x_j = - D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_k-1, x_j, u_k+1,…, um): D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_m).

Выражения для частных производных второго и последующих порядков, при условии их существования, можно получить посредством дифференцирования этих формул.