Теоремы существования решений функционального уравнения

Пусть функция F(х₁, х₂,…, х_n, u) непрерывна на области D евклидова пространства Rⁿ⁺¹, F(х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) = 0; (∂F / ∂u) (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) ≠ 0 (точка (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) Î D). Тогда существует окрестность указанной точки, в которой уравнение F(х₁,…, х_n, u) = 0 однозначно разрешимо, причем решение u = f(х₁, х₂,…, х_n) непрерывно в этой окрестности. Если, кроме условий, оговоренных выше, функция F дифференцируема в окрестности точки (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) и ∂F / ∂u непрерывна в этой точке, то решение u = f(х₁, х₂,…, х_n) дифференцируемо в окрестности рассматриваемой точки, причем ∂f / ∂x_k = - ∂F / ∂x_k: ∂F / ∂u, k = 1,2,…,n.

Частные производные второго и более высоких порядков, при условии их существования, могут быть найдены посредством дифференцирования формул для частных производных первого порядка.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Точка М₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М₀, в которой для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)£f(M₀) (f(M)³f(M₀)).

Точки локального экстремума называются просто точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума. Если функция f(x,y) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М₀(х₀,у₀), то f¢_x(M₀)=f¢_y(M₀)=0.

Доказательство. Рассмотрим сначала функцию одной переменной f(x,y₀). Производная этой функции совпадает с частной производной f¢_x(x,y₀), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х₀. Следовательно, производная функция f(x,y₀) в точке х₀ равна нулю, т.е. f¢_х(x,y₀)=0. Аналогично функция от одной переменной f(x,y₀) имеет локальный экстремум в точке у=у₀. Следовательно, её производная в этой точке равна нулю, т.е. f¢_у(x,y₀)=0.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремум.

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют критическими точками.

Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки М₀(x₀,y₀). Положим D= f¢¢_xx(M₀)f¢¢_yy(M₀) – (f¢¢_xy(M₀)². тогда:

1. если D>0, то в точке М₀ функция имеет локальный экстремум, причём f¢¢_xx(M₀)<0 – локальный максимум, при f¢¢_xx(M₀)>0 – локальный минимум;

2. если D<0, то в точке М₀ нет экстремума.

3. если D=0, то требуются дополнительные исследования.

(в лекциях 2-го семестра доказательства не приводилось, если есть большая тяга к знаниям, то см учебник стр 182-185).