Свойства выпуклых функций

1. функция с выпуклой областью определения Р Ì Rⁿвыпукла тогда и только тогда, когда выпукло множество Н_f ={(х,у):хÎР, у≥ f (x)} (из Rⁿ⁺¹) называемое надграфиком функции f (x).

2. Если f (x) выпукла, то функция α f (x) выпукла при α>0 и вогнута при α<0.

3. Если f (x) выпукла на Р, то множество U_f (α)={х: f (x) ≤ α} выпукло при любом α. (обратное утверждение неверно).

4. Сумма любого числа выпуклых функций на множестве Р Ì Rⁿвыпуклана Р, если при этом хотя бы одна из суммируемых функций строго выпукла, то вся сумма строго выпукла.

5. Пусть Р Ì Rⁿ– выпуклое множество, и для каждого i=1,2,…k пусть l _i(x) – линейная функция n переменных, а f_i (t) – функция одной переменной, выпуклая на l _i(Р). Тогда функция F(х)=f₁ (l ₁(x))+…+ f_К (l _К(x)) выпукла на Р. При этом, если все функции f_i (t) строго выпуклы и любая точка однозначно определяется набором (l ₁(а)+…+ l _К(а)), то F(х) строго выпукла.

6. Пусть f выпукла на Р Ì Rⁿ, а φ(t) – возрастающая выпуклая функция на множестве f (Р) ÌR, тогда F(х)= φ(f(x)) выпукла на Р. Если f (x) строго выпукла, то и F(х) строго выпукла.

7. Дифференциируемая функция f (x) выпукла на множестве Р Ì Rⁿтогда и только тогда, когда (grad f (a), b-a) ≤ f (b)- f (a) для любых a,bÎР

8. Пусть f (x) – функция, непрерывная на отрезке [ a, b ]ÌR и дважды дифференциируемая на (a, b). Для выпуклости функции f (x) на [ a, b ] необходимо и достаточно выполнение неравенства f˝ (x)≥0 для всех tÎ (a, b). Для строгой выпуклости f (x) добавляется условие f˝ (x)≠0 ни на одном интервале, содержащемся в (a, b).

9. Пусть D – выпуклое открытое множество в пространстве Rⁿ, f (x)= f (x₁,…,х_n) – функция, имеющая в D непрерывные частные производные второго порядка. Для каждой точки хÎ D положим