Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – вероятность попадения точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу ставится точка (поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L), вероятность попадения точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вероятность попадения точки на отрезок l определяется равенством

P =Длина l / Длина L.

Пусть плоскость фигуры g составляет часть плоскости фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка, т. е. брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G. Вероятность попадения брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Вероятность попадения точки в фигуру g определяется равенством P = Площадь g / Площадь G.

Правило сложения вероятностей.

Если событие А и В несовместны, то Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Доказательство:

Е, N_раз , N_А раз наблюдалось событие А, N_В раз наблюдалось событие В, N_А+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то N_А+В = N_А + N_В, N_А+В / N = N_А / N+ N_В / N.

Если устремить N ® ¥, то получается Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Обобщение: Если А₁, А₂, …, А_n – попарно несовместны, то

Р{А₁ + А₂ + … + А_n } = Р{А₁} + Р {А₂}+ … + Р {А_n}

Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту s, причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом р_в(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, N_B - число экспериментов, в которых имело место событие В. N_АВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение N_АВ/N_B – частота события А при условии, что наступило событие В.

р(АВ)=р_В(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А₁А₂А₃)=р(А₁)р_А1(А₂)р_А1А2(А₃)

А не зависит от В, если выполняется равенство р_В(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.

Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей)