Раздел 3. Метрические и нормированные пространства

Определение метрического пространства

Пусть в некотором множестве М любой паре его элементов (" х, y Î М) поставлено в соответствии неотрицательное вещественное число r(х, у), удовлетворяющее следующим аксиомам:

А) r(х, у) = r(х, у) аксиома симметрии;

В) r(х, у) ³ 0, причем r(х, у) = 0 Û х = у аксиома положительности;

С) r(х, у) £ r(х, z) + r(z, у) неравенство треугольника.

В этом случае говорят, что на множестве М задана метрика, функция r(х, у) называется расстоянием, а множество М называется метрическом пространством.

Формально любое множество элементов, в котором определено отношение равенства, можно рассматривать как метрическое пространство, если ввести расстояние так:

. (*)