Ограниченные множества. Предельные точки

Def: Шаром S (a, r) в метрическом пространстве Х с центром в точке а радиуса r называется множество всех элементов х Î Х удовлетворяющих условию r(a, x) < r: S (a, r) º { x Î X ½r(a, x) < r }.

Def: Множество элементов Х называется ограниченным, если оно целиком принадлежит некоторому шару.

3°. Сходящаяся последовательность ограничена.

◀ Пусть lim x_n = х ₀. Тогда "e > 0 $ N " n > N x_n Î S (x ₀, e). Рассмотрим S (х ₀, r), где r = max{r(х ₁, х ₀), r(х ₂, х ₀), …, r(х_n, х ₀), e} + e. Ясно, что " n > N x_n Î S (x ₀, r), т.е. последовательность { x_n } ограничена. ▶

Def: Если дано М Ì Х, то элемент х Î Х называется предельной точкой или точкой сгущения множества М, если " S (х, e) $ х ₁Î М, х ₁ ≠ х такой, что х ₁ Î S(х, e).

Def: Множество М с присоединенными к нему всеми предельными точками называется замыканием множества М и обозначается .

Def: Множество М называется замкнутым, если М = .

Рассмотрим предельные точки шара S (a, r) и покажем, что все они удовлетворяют требованию r(a, x) £ r. Допустим, что х¢ предельная и r(a, x¢) > r. Тогда в окрестности точки х¢ радиуса 0,5[r(a, x¢) – r ] нет ни одной точки шара S (a, r) т.е. х¢ не предельная. Множество (a, r) º { x Î X ½r(a, x) £ r } называется замкнутым шаром.