Полнота метрических пространств

Последовательность Î Х называется фундаментальной или сходящейся в себе, если "e > 0 $ N ½" n, m > N r(х_n, х_m) < e.

4°. Любая фундаментальная последовательность ограничена.

◀ e₀ > 0 $ N ₀½" m > N r(х_m, ) < e₀. Тогда все элементы последовательности принадлежат шару с центром х ₀ и радиуса z ₀ = max{e₀, r(х ₁, ), …, r(, )}. ▶

5°. Если последовательность сходится, то она фундаментальна.

◀ Пусть ® х ₀. Тогда "e > 0 $ N " n > N r(х_n, x ₀) < e/2. Кроме того,

r(х_n, x_m) £ r(х_n, x ₀) + r(х ₀, x_m) < e " n, m > N. ▶

Для множества вещественных чисел справедливо и обратное утверждение: любая фундаментальная последовательность – сходится.

В общем случае это не так. Подтверждением этого служит факт, что последовательность рациональных чисел не обязательно сходится к рациональному числу.

Def: Метрическое пространство называется полным если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу этого же метрического пространства.

В каждом метрическом пространстве имеет место теорема – аналогичная теореме о вложенных сегментах для действительных чисел.

6°. Пусть в полном метрическом пространстве Х задана последовательность (a_n, e _n) замкнутых шаров, вложенных друг в друга, т.е. (a_n ₊₁, e _n ₊₁) Ì (a_n, e _n) " n Î N.

Если последовательность радиусов e _n ® 0, то существует и единствен элемент х ₀Î Х, который принадлежит всем этим шарам т.е. $! х ₀Î (a_n, e _n) " n Î N. ◀ ▶