2015-05-05
392
Вектор h называется перпендикулярным к подпространству L, если " y Î L, (h, y) = 0.
Если 
базис в L (в подпространстве), то (h, ei) = 0, " i = 1, 2, …, k.
Множество векторов h Î L перпендикулярных к подпространству L называется ортогональным дополнением к L и обозначается L ^.
7°. L ^ является подпространством.
◀ x, y Î L ^, z Î L, то (a x + b y, z) = a(x, z) + b(y, x) = a×0 + b×0 = 0, т.е. линейная комбинация элементов L ^ остается в L ^. ▶
8°. V = L ⊕ L ^.
◀ Пусть { e 1, e 2, …, ek } базис в L. Дополним его до ортогонального базиса V. { e 1, e 2, …, ek, fk +1, fk +2, …, fn }. Без ограничения общности можно считать его ортонормированным: 
, где y Î L, z Î L ^ и это разложение единственно. ▶
9°. L ∩ L ^ = q.
◀ x Î L, x Î L ^ Þ (x, x) = 0 Þ x = q.▶
10°. dim L + dim L ^ = dim V. Доказать самостоятельно.
