2015-05-05
484
Пусть Vn – n -мерное линейное пространство. Если для любого х Î Vn существует число j(х)ÎК, где К некоторое числовое поле, то говорят, что на пространстве Vn задан функционал φ со значениями в поле К.
Функционал j(х) называется линейным функционалом, если
а) " х, у Î Vn j(х + у) = j(х) + j(у) (аддитивность);
б) " х Î Vn "aÎК j(a х) = aj(х) (однородность).
Пусть 
базис в Vn. Тогда " х Î Vn: х = 
Þ j(х) = j 
= 
. Таким образом, чтобы задать линейный функционал в линейном пространстве, достаточно задать величины ui = j(ei), т.е. каждому линейному функционалу можно поставить в соответствие вектор u = (u 1, u 2, …, un) такой, что j(х) = (x, u) = 
. Действие функционала j на вектор х можно трактовать и как умножение матриц j(х) = (u 1, u 2, …, un)(ξ1, ξ2, …, ξn) Т.
Запись линейного функционала в некотором базисе в виде j(х) = 
называется линейной формой. Таким образом, линейная форма это запись линейного функционала в некотором базисе.
§2. Пространство линейных функционалов на Vn
Рассмотрим множество возможных линейных функционалов на Vn. Два функционала f и j будем называть равными, если " х Î Vn f (x) = j(х).
|
|
|
Введем операции сложения функционалов и умножение функционалов на скаляр из вещественного поля K так:
a) g = f + j Û " х Î Vn g (x) = f (x) + j(х);
b) g = l f Û " х Î Vn, "lÎ K g (x) = l f (x).
Нетрудно убедится, что множество линейных функционалов с так введенными операциями образуют линейное пространство. В качестве нейтрального функционала q определим функционал, который " х Î Vn q(х) = 0. Построенное таким образом пространство линейных функционалов заданных на Vn, называется пространством, сопряженным к Vn и обозначается Vn *.
1°. dim Vn = dim Vn *. ◀ ▶
