Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений. Терминология и постановка задачи.

Формулы Крамера решения неоднородных систем линейных уравнений.

Обратная матрица, ее свойства и нахождение.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Преобразования матрицы, сохраняющие ее ранг.

Однородные системы линейных уравнений. Условие существования нетривиальных решений.

Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Его базис и размерность.

Неоднородные системы линейных уравнений, условие совместности. Теорема Кронекера-Капелли.

Условие единственности решения системы линейных уравнений и условие неопределенности системы.

Теорема об общем решении неоднородной системы линейных уравнений.

Многообразие решений системы неоднородных линейных уравнений. Его базис и размерность.

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

Билинейные и квадратичные формы.

Билинейная форма, ее матрица. Симметричные и антисимметричные билинейные формы. Разложение билинейной формы в сумму симметричной и антисимметричной форм.

Квадратичные формы. Соответствие между квадратичными и билинейными формами.

Классификация квадратичных форм. Канонический вид квадратичных форм.

Метод Лагранжа приведения квадратичных форм к каноническому виду.

Метод Якоби приведения квадратичных форм к каноническому виду.

Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности квадратичных форм.

Закон инерции квадратичных форм.

Линейные операторы.

Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами. Пространство и алгебра линейных операторов.

Связь линейных операторов с матрицами. Закон умножения матриц.

Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Невырожденный линейный оператор. Обратный оператор и его свойства.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их существование и нахождение.

Спектр линейного оператора. Инвариантные подпространства, их существование и нахождение.