Ортогональные операторы

В комплексных унитарных пространствах рассматривались унитарные операторы, т.е. операторы, сохраняющие скалярное произведение ((Ux, Uy) = (x, y)), их аналогом в евклидовых пространствах являются ортогональные операторы.

Def: Линейный оператор P, действующий в евклидовом пространстве называется ортогональным, если " x, y Î V: (Px, Py) = (x, y).

Непосредственно из определения следует, что если { e_k } ортогональный базис в V, то { Pe_k } тоже ортогональный базис в V.

Т°. Чтобы линейный оператор P был ортогональным необходимо и достаточно,

чтобы существовал оператор P ^–1 и выполнялось равенство P ^* = P ^–1.

◀ Необходимость. Пусть P – ортогональный.

(P ^* Px, y) = (Px, Py) = (x, y) Þ ((P ^* P – Е) x, y) = 0 Þ P ^* P = Е Þ (Px, Py) = (x, y) Þ P ^* = P ^–1.

Достаточность. Пусть P ^* = P ^–1, (x, y) = (x, P ^–1 Py) = (x, P ^* Py) = (Px, Py) ▶

Def: Матрица называется ортогональной, если P^TP = PP^T = E.

Если е ₁, е ₂, …, е_n ортонормированный базис в V, то оператор P будет ортогональным тогда и только тогда когда матрица оператора будет ортогональной.

В унитарном пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица, т.е. такая матрица U, что U ^* U = UU ^* = E. Здесь U ^* эрмитово сопряженная матрица, т. е. . Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора U унитарна тогда и только тогда, когда оператор U унитарен.

Рассмотрим ортогональное преобразование в одномерном случае " х Î V ₁, x = a e, aÎ R, тогда Pe = l e Þ (Pe, Pe) = (l e, l e) = l² (e, e) = (e, e), т.е. l² = 1, l = ±1, таким образом, в одномерном пространстве существует два ортогональных преобразования P₊ x = x и P_–x = – x.

Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном случае. Если P задается матрицей , то из условия P^TP = PP^T = E следует, что

т.е. . Положив a = cosj, b = – sinj, получим , причем во второй строке надо брать либо оба минуса, либо оба плюса. При этом det P _± = ±1.

Ортогональная матрица P ₊ называется собственной, а P _- называется несобственной.

В ортонормированном базисе { e ₁, e ₂} оператор P ₊ осуществляет поворот на угол φ в плоскости { e ₁, e ₂}. Записав P _- = QP ₊, где , можем сказать, что P _- осуществляет поворот на угол φ в плоскости { e ₁, e ₂} (P ₊), а затем отражение относительно оси e ₁ (Q).

В общем случае в n -мерном евклидовом пространстве произвольный ортогональный оператор P в некотором ортонормированном базисе { е ₁, е ₂, …, е_n } может быть записан в виде:

.

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.