Понятие группы. Подгруппы

Множество G элементов x, y, z, … произвольной природы называется группой, если в нем корректно введена внутренняя операция (закон композиции) т.е. " х, y Î G, $ z Î G такое, что z = x ⊕ y или (z = x ⊙ y), удовлетворяющее условиям:

1) x ⊕(y ⊕ z) = (x ⊕ y)⊕ z ассоциативность 1) x ⊙(y ⊙ z) = (x ⊙ y)⊙ z;

2) $qÎ G ½" x Î G x ⊕q = x нейтральный элемент 2) $ е Î G ½" x Î G x ⊙ е = x;

3) обратный элемент 3) .

Если введенная операция еще и коммутативная, т.е. x ⊕ y = y ⊕ x или (x ⊙ y = y ⊙ x), то группа называется абелевой.

Подмножество элементов G ₁ группы G называется подгруппой, если:

1) " х, у Î G ₁ ® x ⊙ y Î G ₁; 2) " х Î G ₁ ® x ^-1Î G ₁.

(Здесь применена мультипликативная форма записи)

Подгруппа G ₁ группы G сама по себе является группой. Простейшими (тривиальными) подгруппами любой группы является сама группа и группа, состоящая из одного элемента – нейтрального.