Некоторые свойства групп

1°. Если aa ^-1 = e Þ a ^-1 a = e, т.е. (a ^-1)^-1 = a.

◀ Пусть x элемент обратный к a ^-1, т.е. a ^-1 x = е. Тогда а = ае = а (a ^-1 х) = (аa ^-1) х = ех и a ^-1 а = a ^-1(ех) = (a ^-1 е) х = a ^-1 х = е ▶

2°. " а, еа = а, т.е. правый нейтральный элемент является и левым нейтральным.

◀ ▶

3°. Если ах = е и уа = е, то х = у.

◀ Пусть ау = е, т.е. y обратен к а Þ уа = е (1°), т.е. у = уе = у (ах) = (уа) х = ех = х ▶

Из свойств 1°, 2°, 3° следует, что:

1s) Элемент a ^-1 является как левым, так и правым обратным к а.

2s) В любой группе уравнения ах = b и ya = b однозначно разрешимы, причем x = a ^-1 b,

y = ba ^-1.

3s) В группе имеется единственный нейтральный элемент.

4°. (ab)^-1 = b ^-1 a ^-1.

◀ (ab)(b ^-1 a ^-1) = a (bb ^-1) a ^-1 = aa ^-1 = e ▶