Линейные представления групп. Терминология

Def: Линейным представлением группы G в конечномерном евклидовом пространстве Еⁿ называется такое отображение f, посредством которого " a Î G $ T_a – линейный оператор пространства Еⁿ так, что " a ₁, a ₂Î G выполнено соотношение: T (a ₁, a ₂) = . Т.е. осуществляет гомоморфизм группы G на некоторое подмножество линейных преобразований.

Используется следующая терминология: Еⁿ – пространство представления; dim Еⁿ – размерность представления; базис в Еⁿ – базис представления.

Сам гомоморфный образ f (G) группы G также называется представлением группы G в пространстве представлений.

В дальнейшем: n -мерное линейное представление группы будем называть (для кратности) представлением этой группы.

Обозначение представления группы: D (G).

Различные представления группы: D ⁽^m)(G).

D ⁽^m)(y) – это линейный оператор: f: g ® D ⁽^m)(y).

Представления и группы G в одном и том же пространстве называются эквивалентными, если $ С – линейный оператор в Еⁿ такой, что

" g Î G: = C ^–1 С.

Тривиальное представление группы G: гомоморфизм G на единичный элемент группы GL (n).

Если f: G ® G ₁, где G ₁ подгруппа в GL (n) и если f – изоморфизм, то представление называется точным. (Не у всякой группы есть точное n -мерное представление для заданного n).