Группы линейных преобразований

1 °. Рассмотрим множество невырожденных линейных операторов (преобразований), действующих из V_n в V_n. Если определить произведение линейных операторов по правилу (AB) x = A (Bx), то:

Тº. Множество GL (n) невырожденных линейных преобразований линейного n -мерного пространства V с операцией умножения операторов введенной,как (АВ) х = А (Вх) представляет собой группу.

Эта группа называется группой линейных невырожденных преобразований линейного пространства V_n и обозначается: GL (n).

2 °. Короткое воспоминание: Линейный оператор Р в евклидовом пространстве называется ортогональным, если " x, y Î V (евклидово пространство) (Px, Py) = (x, y).

Условие ортогональности оператора: Оператор Р ₂ ортогонален тогда и только тогда когда существует Р ^-1 и Р ^-1 = Р ^*.

Тº. Множество всех ортогональных операторов евклидового пространства V_n с

обычной операцией умножения линейных операторов образует группу.

Эта группа называется ортогональной группой и обозначается О (n).

◀ Пусть Р ₁ и Р ₂ – ортогональные операторы. Докажем, что Р ₁ Р ₂ тоже ортогональный оператор (Р ₁ Р ₂ x, Р ₁ Р ₂ x) (Р ₂ x, Р ₂ x) (x, y) ▶

3 °. Еще воспоминание: Если оператор Р ортогонален, то det P = ±1. Поэтому все ортогональные операторы Р делятся на два класса:

а) Р для которых det P = 1 (эти преобразования называются собственными)

б) Р для которых det P = -1 (эти преобразования называются несобственными)

Тº. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, которая называется собственной ортогональной группой и обозначается SO (n).

4 °. O (n) есть подгруппа GL (n); SO (n) есть подгруппа О (n).

5 °. В комплексном линейном пространстве также можно рассмотреть группу линейных преобразований. Если в комплексном пространстве со скалярным произведением (унитарное пространство) рассмотреть множество линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение: (U_x, U_y) = (x, y) (такие операторы называются унитарными), то окажется, что унитарные операторы образуют группу. Эта группа называется унитарной группой, обозначается U_n и является аналогом ортогональной группы в унитарном пространстве.