2015-05-05
404
В физике, при изучении поведения тел (частиц) в пространстве и времени, часто полезно, из наглядных соображений, пользоваться 4х-мерным пространством векторов с координатами (ct, x, y, z)) (c – скорость света)). Такое пространство называется мировым пространством.
В этом пространстве событие изображается точкой в мировом пространстве или мировой точкой.
Частице в мировом пространстве соответствует мировая линия.
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К из точки (x 1, y 1, z 1) в некоторый момент времени t 1 отправлен сигнал со скоростью с и этот сигнал принят в точке (x 2, y 2, z 2) в момент времени t 2. Тогда расстояние, которое этот сигнал прошел, равно: 
, следовательно: c 2(t 2 - t 1)2 - (x 2 - x 1)2 - - (y 2 - y 1)2 - (z 2 - z 1)2 = 0. В другой инерциальной системе отсчета К ¢ будем иметь:
c 2(t ¢2 - t ¢1)2 - (x ¢2 - x ¢1)2 - (y ¢2 - y ¢1)2 - (z ¢2 - z ¢1)2 = 0.
Принцип неизменности скорости света в различных системах отсчета в математической интерпретации обозначает, что не изменяется величина S, где: S 2 = c 2(t 2 - t 1)2 - (x 2 - - x 1)2 - (y 2 - y 1)2 - (z 2 - z 1)2 .
|
|
|
Величина S называется интервалом между двумя событиями в мировом пространстве.
Преобразования, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой инерциальной системе отсчета К ¢, движущейся относительно К с постоянной скоростью V в предположении бесконечности скорости света называются преобразованиями Галилея:
(x ¢ = x + vt, y ¢ = y, z ¢ = z, t ¢ = t).
Если же учитывать конечность скорости света, то такие преобразования носят названия преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца сохраняют интервал. Если в указанном пространстве ввести: 
, то все векторы (и интервалы) разобьются на:
а) времени-подобные (s(x) > 0);
б) изотропные (s(x) = 0);
в) пространственно-подобные (s(x) < 0).
Если интервал между событиями времени-подобен, то существует К ¢ в которой два события произошли в одном и том же месте мирового пространства.
Если интервал между событиями пространственно-подобен, то существует К ¢ в котором два события произошли одновременно.
Два события могут быть связаны причинно-следственной связью, если интервал между ними времени-подобный.
Рассмотрим псевдоевклидово пространство Еn (p, q) в котором скалярное произведение (x, y) задано симметричной невырожденной билинейной формой, полярной знакопеременной квадратичной форме A (x, x), которая в некоторой системе координат(она называется Галилеевой) имеет вид: 
.
Def: Линейное преобразование Р псевдоевклидового пространства Еn (p, q) называется преобразованием Лоренца, если " x, y Î En (p, q), (Рx, Рy) = (x, y).
Тº. Определитель преобразования Лоренца отличен от нуля и, следовательно, существует P -1. Доказать самостоятельно.
|
|
|
Тº. Произведение преобразований Лоренца есть преобразование Лоренца. Доказать
самостоятельно.
Таким образом:
Тº. Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидового пространства
Еn (p, q) c обычной операцией умножения линейных операторов образуют
группу, которая называется общей группой Лоренца псевдоевклидового
пространства Еn (p, q) и обозначена L (n; p, q). Доказать самостоятельно.
Группа L (n; 1, n -1) обозначается L (n). Группа Лоренцевых преобразований в рассмотренном выше Е 4(1, 3) обозначается L (4).
Подгруппа группы L (n) преобразований Р, которые времени-подобные векторы переводят во времени-подобные векторы называется полной группой Лоренца и обозначается L (n).
Подгруппа группы L (n) преобразований Р, для которых det P > 0 называется собственной группой Лоренца и обозначается L +(n).
Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат L (n) т.е. переводят времени-подобные векторы во времени-подобные векторы также образуют подгруппу L (n), которая называется группой Лоренца и обозначается L (n).
