Приводимые и неприводимые представления

Def: Подпространство Е ¢ называется инвариантным для представления D (G), если оно инвариантно для всякого оператора из D (G).

Очевидно, что на инвариантном подпространстве Е ¢ представления D (G) индуцируется некоторое представление , которое, вообще говоря, не сводится к D (G) если Е ¢ ¹ Еⁿ.

Представление называется частью представления D (G).

Поясним теперь понятие представления.

Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления D (G) имеют вид . Нетрудно проверить, что при умножении матриц такого типа их структура сохраняется, причем и (т.е. части А ₁ и А ₃ перемножаются автономно).

Отсюда следует, что А ₁ есть двумерное представление группы G, а А ₃ есть одномерное представление этой же группы.

В таких случаях говорят, что представление D (G) приводимо.

Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах ) имеют вид , где А ₁ и А ₂ квадратные матрицы порядков n ₁ и n ₂ , то матрицы А ₁ и А ₂ образуют представления, сумма размерностей которых n ₁ + n ₂ = n.

В этом случае представление называют вполне приводимым.

И в заключение: Представления D (G) называется неприводимым, если у этого представления существуют лишь два инвариантных подпространства: Еⁿ и {θ}.

Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые.